Analysis Beispiele

$(1 + y^{3}) d x + x y^{2} d y = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $(1 + y^{3}) d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x y^{2} d y = - (1 + y^{3}) d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{x (1 + y^{3})}$ .

$\frac{1}{x (1 + y^{3})} (x y^{2}) d y = \frac{1}{x (1 + y^{3})} (- (1 + y^{3})) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x y^{2}$ heraus.

$\frac{1}{x (1 + y^{3})} (x (y^{2})) d y = \frac{1}{x (1 + y^{3})} (- (1 + y^{3})) d x$

Schritt 3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{x (1 + y^{3})} (x y^{2}) d y = \frac{1}{x (1 + y^{3})} (- (1 + y^{3})) d x$

Schritt 3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{1 + y^{3}} y^{2} d y = \frac{1}{x (1 + y^{3})} (- (1 + y^{3})) d x$

Schritt 3.2

Kombiniere $\frac{1}{1 + y^{3}}$ und $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{1 + y^{3}} d y = \frac{1}{x (1 + y^{3})} (- (1 + y^{3})) d x$

Schritt 3.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.3.1

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$\frac{y^{2}}{1^{3} + y^{3}} d y = \frac{1}{x (1 + y^{3})} (- (1 + y^{3})) d x$

Schritt 3.3.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = 1$ und $b = y$ .

$\frac{y^{2}}{(1 + y) (1^{2} - 1 y + y^{2})} d y = \frac{1}{x (1 + y^{3})} (- (1 + y^{3})) d x$

Schritt 3.3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{y^{2}}{(1 + y) (1 - 1 y + y^{2})} d y = \frac{1}{x (1 + y^{3})} (- (1 + y^{3})) d x$

Schritt 3.3.3.2

Schreibe $- 1 y$ als $- y$ um.

$\frac{y^{2}}{(1 + y) (1 - y + y^{2})} d y = \frac{1}{x (1 + y^{3})} (- (1 + y^{3})) d x$

Schritt 3.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{y^{2}}{(1 + y) (1 - y + y^{2})} d y = - \frac{1}{x (1 + y^{3})} (1 + y^{3}) d x$

Schritt 3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + y^{3}$ .

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Schritt 3.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{x (1 + y^{3})}$ in den Zähler.

$\frac{y^{2}}{(1 + y) (1 - y + y^{2})} d y = \frac{- 1}{x (1 + y^{3})} (1 + y^{3}) d x$

Schritt 3.5.2

Faktorisiere $1 + y^{3}$ aus $x (1 + y^{3})$ heraus.

$\frac{y^{2}}{(1 + y) (1 - y + y^{2})} d y = \frac{- 1}{(1 + y^{3}) x} (1 + y^{3}) d x$

Schritt 3.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{2}}{(1 + y) (1 - y + y^{2})} d y = \frac{- 1}{(1 + y^{3}) x} (1 + y^{3}) d x$

Schritt 3.5.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y^{2}}{(1 + y) (1 - y + y^{2})} d y = \frac{- 1}{x} d x$

Schritt 3.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{y^{2}}{(1 + y) (1 - y + y^{2})} d y = - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{y^{2}}{(1 + y) (1 - y + y^{2})} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Sei $u = (1 + y) (1 - y + y^{2})$ . Dann ist $d u = 3 y^{2} d y$ , folglich $\frac{1}{3} d u = y^{2} d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.2.1.1

Es sei $u = (1 + y) (1 - y + y^{2})$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 4.2.1.1.1

Differenziere $(1 + y) (1 - y + y^{2})$ .

$\frac{d}{d y} [(1 + y) (1 - y + y^{2})]$

Schritt 4.2.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = 1 + y$ und $g (y) = 1 - y + y^{2}$ .

$(1 + y) \frac{d}{d y} [1 - y + y^{2}] + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Schritt 4.2.1.1.3

Differenziere.

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Schritt 4.2.1.1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - y + y^{2}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$(1 + y) (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Schritt 4.2.1.1.3.2

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$(1 + y) (0 + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Schritt 4.2.1.1.3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d y} [- y]$ .

$(1 + y) (\frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Schritt 4.2.1.1.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$(1 + y) (- \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Schritt 4.2.1.1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(1 + y) (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Schritt 4.2.1.1.3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$(1 + y) (- 1 + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Schritt 4.2.1.1.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(1 + y) (- 1 + 2 y) + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Schritt 4.2.1.1.3.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$(1 + y) (- 1 + 2 y) + (1 - y + y^{2}) (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 4.2.1.1.3.9

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$(1 + y) (- 1 + 2 y) + (1 - y + y^{2}) (0 + \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 4.2.1.1.3.10

Addiere $0$ und $\frac{d}{d y} [y]$ .

$(1 + y) (- 1 + 2 y) + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 4.2.1.1.3.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(1 + y) (- 1 + 2 y) + (1 - y + y^{2}) \cdot 1$

Schritt 4.2.1.1.3.12

Mutltipliziere $1 - y + y^{2}$ mit $1$ .

$(1 + y) (- 1 + 2 y) + 1 - y + y^{2}$

Schritt 4.2.1.1.4

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(1 + y) \cdot - 1 + (1 + y) (2 y) + 1 - y + y^{2}$

Schritt 4.2.1.1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$1 \cdot - 1 + y \cdot - 1 + (1 + y) (2 y) + 1 - y + y^{2}$

Schritt 4.2.1.1.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$1 \cdot - 1 + y \cdot - 1 + 1 (2 y) + y (2 y) + 1 - y + y^{2}$

Schritt 4.2.1.1.4.4

Vereine die Terme

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Schritt 4.2.1.1.4.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1 + y \cdot - 1 + 1 (2 y) + y (2 y) + 1 - y + y^{2}$

Schritt 4.2.1.1.4.4.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $y$ .

$- 1 - 1 \cdot y + 1 (2 y) + y (2 y) + 1 - y + y^{2}$

Schritt 4.2.1.1.4.4.3

Schreibe $- 1 y$ als $- y$ um.

$- 1 - y + 1 (2 y) + y (2 y) + 1 - y + y^{2}$

Schritt 4.2.1.1.4.4.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- 1 - y + 2 y + y (2 y) + 1 - y + y^{2}$

Schritt 4.2.1.1.4.4.5

Potenziere $y$ mit $1$ .

$- 1 - y + 2 y + 2 (y^{1} y) + 1 - y + y^{2}$

Schritt 4.2.1.1.4.4.6

Potenziere $y$ mit $1$ .

$- 1 - y + 2 y + 2 (y^{1} y^{1}) + 1 - y + y^{2}$

Schritt 4.2.1.1.4.4.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 1 - y + 2 y + 2 y^{1 + 1} + 1 - y + y^{2}$

Schritt 4.2.1.1.4.4.8

Addiere $1$ und $1$ .

$- 1 - y + 2 y + 2 y^{2} + 1 - y + y^{2}$

Schritt 4.2.1.1.4.4.9

Addiere $- y$ und $2 y$ .

$- 1 + y + 2 y^{2} + 1 - y + y^{2}$

Schritt 4.2.1.1.4.4.10

Addiere $- 1$ und $1$ .

$y + 2 y^{2} + 0 - y + y^{2}$

Schritt 4.2.1.1.4.4.11

Addiere $y + 2 y^{2}$ und $0$ .

$y + 2 y^{2} - y + y^{2}$

Schritt 4.2.1.1.4.4.12

Subtrahiere $y$ von $y$ .

$2 y^{2} + 0 + y^{2}$

Schritt 4.2.1.1.4.4.13

Addiere $2 y^{2}$ und $0$ .

$2 y^{2} + y^{2}$

Schritt 4.2.1.1.4.4.14

Addiere $2 y^{2}$ und $y^{2}$ .

$3 y^{2}$

Schritt 4.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 3} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.2.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $u$ .

$\int \frac{1}{3 u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.3

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.4

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.5

Vereinfache.

$\frac{1}{3} \ln (| u |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.6

Ersetze alle $u$ durch $(1 + y) (1 - y + y^{2})$ .

$\frac{1}{3} \ln (| (1 + y) (1 - y + y^{2}) |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} \ln (| (1 + y) (1 - y + y^{2}) |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.3.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{3} \ln (| (1 + y) (1 - y + y^{2}) |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Schritt 4.3.3

Vereinfache.

$\frac{1}{3} \ln (| (1 + y) (1 - y + y^{2}) |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\frac{1}{3} \ln (| (1 + y) (1 - y + y^{2}) |) = - \ln (| x |) + C$

Schritt 5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $3$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| (1 + y) (1 - y + y^{2}) |)) = 3 (- \ln (| x |) + C)$

Schritt 5.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache $3 (\frac{1}{3} \ln (| (1 + y) (1 - y + y^{2}) |))$ .

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Schritt 5.2.1.1.1

Multipliziere $(1 + y) (1 - y + y^{2})$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- y) + 1 y^{2} + y \cdot 1 + y (- y) + y \cdot y^{2} |)) = 3 (- \ln (| x |) + C)$

Schritt 5.2.1.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.2.1.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1.2.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 + 1 (- y) + 1 y^{2} + y \cdot 1 + y (- y) + y \cdot y^{2} |)) = 3 (- \ln (| x |) + C)$

Schritt 5.2.1.1.2.1.2

Mutltipliziere $- y$ mit $1$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + 1 y^{2} + y \cdot 1 + y (- y) + y \cdot y^{2} |)) = 3 (- \ln (| x |) + C)$

Schritt 5.2.1.1.2.1.3

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + y^{2} + y \cdot 1 + y (- y) + y \cdot y^{2} |)) = 3 (- \ln (| x |) + C)$

Schritt 5.2.1.1.2.1.4

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + y^{2} + y + y (- y) + y \cdot y^{2} |)) = 3 (- \ln (| x |) + C)$

Schritt 5.2.1.1.2.1.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + y^{2} + y - y \cdot y + y \cdot y^{2} |)) = 3 (- \ln (| x |) + C)$

Schritt 5.2.1.1.2.1.6

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.1.1.2.1.6.1

Bewege $y$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + y^{2} + y - (y \cdot y) + y \cdot y^{2} |)) = 3 (- \ln (| x |) + C)$

Schritt 5.2.1.1.2.1.6.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + y^{2} + y - y^{2} + y \cdot y^{2} |)) = 3 (- \ln (| x |) + C)$

Schritt 5.2.1.1.2.1.7

Multipliziere $y$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.1.1.2.1.7.1

Mutltipliziere $y$ mit $y^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1.2.1.7.1.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + y^{2} + y - y^{2} + y^{1} y^{2} |)) = 3 (- \ln (| x |) + C)$

Schritt 5.2.1.1.2.1.7.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + y^{2} + y - y^{2} + y^{1 + 2} |)) = 3 (- \ln (| x |) + C)$

Schritt 5.2.1.1.2.1.7.2

Addiere $1$ und $2$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + y^{2} + y - y^{2} + y^{3} |)) = 3 (- \ln (| x |) + C)$

Schritt 5.2.1.1.2.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.2.1.1.2.2.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $1 - y + y^{2} + y - y^{2} + y^{3}$ .

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Schritt 5.2.1.1.2.2.1.1

Addiere $- y$ und $y$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 + y^{2} + 0 - y^{2} + y^{3} |)) = 3 (- \ln (| x |) + C)$

Schritt 5.2.1.1.2.2.1.2

Addiere $1 + y^{2}$ und $0$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 + y^{2} - y^{2} + y^{3} |)) = 3 (- \ln (| x |) + C)$

Schritt 5.2.1.1.2.2.1.3

Subtrahiere $y^{2}$ von $y^{2}$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 + 0 + y^{3} |)) = 3 (- \ln (| x |) + C)$

Schritt 5.2.1.1.2.2.1.4

Addiere $1$ und $0$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 + y^{3} |)) = 3 (- \ln (| x |) + C)$

Schritt 5.2.1.1.2.2.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\ln (| 1 + y^{3} |)$ .

$3 \frac{\ln (| 1 + y^{3} |)}{3} = 3 (- \ln (| x |) + C)$

Schritt 5.2.1.1.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.1.1.2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{\ln (| 1 + y^{3} |)}{3} = 3 (- \ln (| x |) + C)$

Schritt 5.2.1.1.2.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| 1 + y^{3} |) = 3 (- \ln (| x |) + C)$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinfache $3 (- \ln (| x |) + C)$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| 1 + y^{3} |) = 3 (- \ln (| x |)) + 3 C$

Schritt 5.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\ln (| 1 + y^{3} |) = - 3 \ln (| x |) + 3 C$

Schritt 5.3

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| 1 + y^{3} |) + 3 \ln (| x |) = 3 C$

Schritt 5.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.1

Vereinfache $\ln (| 1 + y^{3} |) + 3 \ln (| x |)$ .

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Schritt 5.4.1.1

Vereinfache $3 \ln (| x |)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (| 1 + y^{3} |) + \ln ({| x |}^{3}) = 3 C$

Schritt 5.4.1.2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 1 + y^{3} | {| x |}^{3}) = 3 C$

Schritt 5.5

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| 1 + y^{3} | {| x |}^{3})} = e^{3 C}$

Schritt 5.6

Schreibe $\ln (| 1 + y^{3} | {| x |}^{3}) = 3 C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{3 C} = | 1 + y^{3} | {| x |}^{3}$

Schritt 5.7

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.7.1

Schreibe die Gleichung als $| 1 + y^{3} | {| x |}^{3} = e^{3 C}$ um.

$| 1 + y^{3} | {| x |}^{3} = e^{3 C}$

Schritt 5.7.2

Teile jeden Ausdruck in $| 1 + y^{3} | {| x |}^{3} = e^{3 C}$ durch ${| x |}^{3}$ und vereinfache.

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Schritt 5.7.2.1

Teile jeden Ausdruck in $| 1 + y^{3} | {| x |}^{3} = e^{3 C}$ durch ${| x |}^{3}$ .

$\frac{| 1 + y^{3} | {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}} = \frac{e^{3 C}}{{| x |}^{3}}$

Schritt 5.7.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${| x |}^{3}$ .

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Schritt 5.7.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{| 1 + y^{3} | {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}} = \frac{e^{3 C}}{{| x |}^{3}}$

Schritt 5.7.2.2.1.2

Dividiere $| 1 + y^{3} |$ durch $1$ .

$| 1 + y^{3} | = \frac{e^{3 C}}{{| x |}^{3}}$

Schritt 5.7.3

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$1 + y^{3} = \pm \frac{e^{3 C}}{{| x |}^{3}}$

Schritt 5.7.4

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{3} = \pm \frac{e^{3 C}}{{| x |}^{3}} - 1$

Schritt 5.7.5

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \sqrt[3]{\pm \frac{e^{3 C}}{{| x |}^{3}} - 1}$

Schritt 6

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 6.1

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \sqrt[3]{\pm \frac{C}{{| x |}^{3}} - 1}$

Schritt 6.2

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = \sqrt[3]{C \frac{1}{{| x |}^{3}} - 1}$