Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = 7 \cos (x) \sec (y)$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{\sec (y)}$ .

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sec (y)} (7 \cos (x) \sec (y))$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{1}{\sec (y)} \cos (x) \sec (y)$

Schritt 1.2.2

Schreibe $\sec (y)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{1}{\frac{1}{\cos (y)}} \cos (x) \sec (y)$

Schritt 1.2.3

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\cos (y)}$ zu dividieren.

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = 7 (1 \cos (y)) \cos (x) \sec (y)$

Schritt 1.2.4

Mutltipliziere $\cos (y)$ mit $1$ .

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = 7 \cos (y) \cos (x) \sec (y)$

Schritt 1.2.5

Schreibe $\sec (y)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = 7 \cos (y) \cos (x) \frac{1}{\cos (y)}$

Schritt 1.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (y)$ .

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Schritt 1.2.6.1

Faktorisiere $\cos (y)$ aus $7 \cos (y) \cos (x)$ heraus.

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = \cos (y) (7 \cos (x)) \frac{1}{\cos (y)}$

Schritt 1.2.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = \cos (y) (7 \cos (x)) \frac{1}{\cos (y)}$

Schritt 1.2.6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = 7 \cos (x)$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{\sec (y)} d y = 7 \cos (x) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{\sec (y)} d y = \int 7 \cos (x) d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1.1

Schreibe $\sec (y)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\int \frac{1}{\frac{1}{\cos (y)}} d y = \int 7 \cos (x) d x$

Schritt 2.2.1.2

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\cos (y)}$ zu dividieren.

$\int 1 \cos (y) d y = \int 7 \cos (x) d x$

Schritt 2.2.1.3

Mutltipliziere $\cos (y)$ mit $1$ .

$\int \cos (y) d y = \int 7 \cos (x) d x$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $\cos (y)$ nach $y$ ist $\sin (y)$ .

$\sin (y) + C_{1} = \int 7 \cos (x) d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $7$ aus dem Integral.

$\sin (y) + C_{1} = 7 \int \cos (x) d x$

Schritt 2.3.2

Das Integral von $\cos (x)$ nach $x$ ist $\sin (x)$ .

$\sin (y) + C_{1} = 7 (\sin (x) + C_{2})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache.

$\sin (y) + C_{1} = 7 \sin (x) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\sin (y) = 7 \sin (x) + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $7 \sin (x) + K = \sin (y)$ um.

$7 \sin (x) + K = \sin (y)$

Schritt 3.2

Subtrahiere $K$ von beiden Seiten der Gleichung.

$7 \sin (x) = \sin (y) - K$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $7 \sin (x) = \sin (y) - K$ durch $7$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $7 \sin (x) = \sin (y) - K$ durch $7$ .

$\frac{7 \sin (x)}{7} = \frac{\sin (y)}{7} + \frac{- K}{7}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7 \sin (x)}{7} = \frac{\sin (y)}{7} + \frac{- K}{7}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

$\sin (x) = \frac{\sin (y)}{7} + \frac{- K}{7}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sin (x) = \frac{\sin (y)}{7} - \frac{K}{7}$

Schritt 3.4

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (\frac{\sin (y)}{7} - \frac{K}{7})$

Schritt 3.5

Schreibe die Gleichung als $\arcsin (\frac{\sin (y)}{7} - \frac{K}{7}) = x$ um.

$\arcsin (\frac{\sin (y)}{7} - \frac{K}{7}) = x$

Schritt 3.6

Nimm den inversen Arcussinus von beiden Seiten der Gleichung, um $\sin (y)$ aus dem Arcussinus zu ziehen.

$\frac{\sin (y)}{7} - \frac{K}{7} = \sin (x)$

Schritt 3.7

Addiere $\frac{K}{7}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{\sin (y)}{7} = \sin (x) + \frac{K}{7}$

Schritt 3.8

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $7$ .

$7 \frac{\sin (y)}{7} = 7 (\sin (x) + \frac{K}{7})$

Schritt 3.9

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.9.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.9.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 3.9.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$7 \frac{\sin (y)}{7} = 7 (\sin (x) + \frac{K}{7})$

Schritt 3.9.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (y) = 7 (\sin (x) + \frac{K}{7})$

Schritt 3.9.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.9.2.1

Vereinfache $7 (\sin (x) + \frac{K}{7})$ .

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Schritt 3.9.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\sin (y) = 7 \sin (x) + 7 \frac{K}{7}$

Schritt 3.9.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 3.9.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (y) = 7 \sin (x) + 7 \frac{K}{7}$

Schritt 3.9.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (y) = 7 \sin (x) + K$

Schritt 3.10

Stelle $7 \sin (x)$ und $K$ um.

$\sin (y) = K + 7 \sin (x)$

Schritt 3.11

Addiere $\frac{K}{7}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{\sin (y)}{7} = \sin (x) + \frac{K}{7}$

Schritt 3.12

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $7$ .

$7 \frac{\sin (y)}{7} = 7 (\sin (x) + \frac{K}{7})$

Schritt 3.13

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.13.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.13.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 3.13.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$7 \frac{\sin (y)}{7} = 7 (\sin (x) + \frac{K}{7})$

Schritt 3.13.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (y) = 7 (\sin (x) + \frac{K}{7})$

Schritt 3.13.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.13.2.1

Vereinfache $7 (\sin (x) + \frac{K}{7})$ .

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Schritt 3.13.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\sin (y) = 7 \sin (x) + 7 \frac{K}{7}$

Schritt 3.13.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 3.13.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (y) = 7 \sin (x) + 7 \frac{K}{7}$

Schritt 3.13.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (y) = 7 \sin (x) + K$

Schritt 3.14

Stelle $7 \sin (x)$ und $K$ um.

$\sin (y) = K + 7 \sin (x)$

Schritt 3.15

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$y = \arcsin (K + 7 \sin (x))$

Schritt 3.16

Da $y$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$\arcsin (\frac{\sin (y)}{7} - \frac{K}{7}) = x$

Schritt 3.17

Nimm den inversen Arcussinus von beiden Seiten der Gleichung, um $\sin (y)$ aus dem Arcussinus zu ziehen.

$\frac{\sin (y)}{7} - \frac{K}{7} = \sin (x)$

Schritt 3.18

Addiere $\frac{K}{7}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{\sin (y)}{7} = \sin (x) + \frac{K}{7}$

Schritt 3.19

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $7$ .

$7 \frac{\sin (y)}{7} = 7 (\sin (x) + \frac{K}{7})$

Schritt 3.20

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.20.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.20.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 3.20.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$7 \frac{\sin (y)}{7} = 7 (\sin (x) + \frac{K}{7})$

Schritt 3.20.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (y) = 7 (\sin (x) + \frac{K}{7})$

Schritt 3.20.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.20.2.1

Vereinfache $7 (\sin (x) + \frac{K}{7})$ .

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Schritt 3.20.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\sin (y) = 7 \sin (x) + 7 \frac{K}{7}$

Schritt 3.20.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 3.20.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (y) = 7 \sin (x) + 7 \frac{K}{7}$

Schritt 3.20.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (y) = 7 \sin (x) + K$

Schritt 3.21

Stelle $7 \sin (x)$ und $K$ um.

$\sin (y) = K + 7 \sin (x)$

Schritt 3.22

Addiere $\frac{K}{7}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{\sin (y)}{7} = \sin (x) + \frac{K}{7}$

Schritt 3.23

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $7$ .

$7 \frac{\sin (y)}{7} = 7 (\sin (x) + \frac{K}{7})$

Schritt 3.24

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.24.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.24.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 3.24.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$7 \frac{\sin (y)}{7} = 7 (\sin (x) + \frac{K}{7})$

Schritt 3.24.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (y) = 7 (\sin (x) + \frac{K}{7})$

Schritt 3.24.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.24.2.1

Vereinfache $7 (\sin (x) + \frac{K}{7})$ .

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Schritt 3.24.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\sin (y) = 7 \sin (x) + 7 \frac{K}{7}$

Schritt 3.24.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 3.24.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (y) = 7 \sin (x) + 7 \frac{K}{7}$

Schritt 3.24.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (y) = 7 \sin (x) + K$

Schritt 3.25

Stelle $7 \sin (x)$ und $K$ um.

$\sin (y) = K + 7 \sin (x)$

Schritt 3.26

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$y = \arcsin (K + 7 \sin (x))$