Analysis Beispiele

$2 \frac{d y}{d x} = (10 + 4 \sin (t)) y$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} (2 \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{y} ((10 + 4 \sin (t)) y)$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $y$ aus $(10 + 4 \sin (t)) y$ heraus.

$\frac{1}{y} (2 \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{y} (y (10 + 4 \sin (t)))$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} (2 \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{y} (y (10 + 4 \sin (t)))$

Schritt 1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} (2 \frac{d y}{d x}) = 10 + 4 \sin (t)$

Schritt 1.3

Entferne unnötige Klammern.

$\frac{1}{y} \cdot 2 \frac{d y}{d x} = 10 + 4 \sin (t)$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y} \cdot 2 d y = (10 + 4 \sin (t)) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y} \cdot 2 d y = \int 10 + 4 \sin (t) d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kombiniere $\frac{1}{y}$ und $2$ .

$\int \frac{2}{y} d y = \int 10 + 4 \sin (t) d x$

Schritt 2.2.2

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int \frac{1}{y} d y = \int 10 + 4 \sin (t) d x$

Schritt 2.2.3

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$2 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int 10 + 4 \sin (t) d x$

Schritt 2.2.4

Vereinfache.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int 10 + 4 \sin (t) d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Wende die Konstantenregel an.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = (10 + 4 \sin (t)) x + C_{2}$

Schritt 2.3.2

Stelle die Terme um.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = x (10 + 4 \sin (t)) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$2 \ln (| y |) = x (10 + 4 \sin (t)) + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \ln (| y |) = x (10 + 4 \sin (t)) + C$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \ln (| y |) = x (10 + 4 \sin (t)) + C$ durch $2$ .

$\frac{2 \ln (| y |)}{2} = \frac{x (10 + 4 \sin (t))}{2} + \frac{C}{2}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \ln (| y |)}{2} = \frac{x (10 + 4 \sin (t))}{2} + \frac{C}{2}$

Schritt 3.1.2.1.2

Dividiere $\ln (| y |)$ durch $1$ .

$\ln (| y |) = \frac{x (10 + 4 \sin (t))}{2} + \frac{C}{2}$

Schritt 3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10 + 4 \sin (t)$ und $2$ .

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Schritt 3.1.3.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $x (10 + 4 \sin (t))$ heraus.

$\ln (| y |) = \frac{2 (x (5 + 2 \sin (t)))}{2} + \frac{C}{2}$

Schritt 3.1.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.3.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\ln (| y |) = \frac{2 (x (5 + 2 \sin (t)))}{2 (1)} + \frac{C}{2}$

Schritt 3.1.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (| y |) = \frac{2 (x (5 + 2 \sin (t)))}{2 \cdot 1} + \frac{C}{2}$

Schritt 3.1.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| y |) = \frac{x (5 + 2 \sin (t))}{1} + \frac{C}{2}$

Schritt 3.1.3.1.1.2.4

Dividiere $x (5 + 2 \sin (t))$ durch $1$ .

$\ln (| y |) = x (5 + 2 \sin (t)) + \frac{C}{2}$

Schritt 3.1.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| y |) = x \cdot 5 + x (2 \sin (t)) + \frac{C}{2}$

Schritt 3.1.3.1.3

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x$ .

$\ln (| y |) = 5 \cdot x + x (2 \sin (t)) + \frac{C}{2}$

Schritt 3.1.3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\ln (| y |) = 5 x + 2 x \sin (t) + \frac{C}{2}$

Schritt 3.2

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| y |)} = e^{5 x + 2 x \sin (t) + \frac{C}{2}}$

Schritt 3.3

Schreibe $\ln (| y |) = 5 x + 2 x \sin (t) + \frac{C}{2}$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{5 x + 2 x \sin (t) + \frac{C}{2}} = | y |$

Schritt 3.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.4.1

Schreibe die Gleichung als $| y | = e^{5 x + 2 x \sin (t) + \frac{C}{2}}$ um.

$| y | = e^{5 x + 2 x \sin (t) + \frac{C}{2}}$

Schritt 3.4.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{5 x + 2 x \sin (t) + \frac{C}{2}}$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \pm e^{5 x + 2 x \sin (t) + C}$

Schritt 4.2

Schreibe $e^{5 x + 2 x \sin (t) + C}$ als $e^{5 x + 2 x \sin (t)} e^{C}$ um.

$y = \pm e^{5 x + 2 x \sin (t)} e^{C}$

Schritt 4.3

Stelle $e^{5 x + 2 x \sin (t)}$ und $e^{C}$ um.

$y = \pm e^{C} e^{5 x + 2 x \sin (t)}$

Schritt 4.4

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = C e^{5 x + 2 x \sin (t)}$