Analysis Beispiele

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = y^{2} + 1$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = y^{2} + 1$ durch $x^{2} + 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.1

Teile jeden Ausdruck in $(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = y^{2} + 1$ durch $x^{2} + 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x}}{x^{2} + 1} = \frac{y^{2}}{x^{2} + 1} + \frac{1}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + 1$ .

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Schritt 1.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x}}{x^{2} + 1} = \frac{y^{2}}{x^{2} + 1} + \frac{1}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.1.2.1.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2} + 1} + \frac{1}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 1}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2} + 1$ .

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Schritt 1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.1.1

Stelle $y^{2}$ und $1$ um.

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ nach $y$ ist $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.1.1

Stelle $x^{2}$ und $1$ um.

$\arctan (y) + C_{1} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\arctan (y) + C_{1} = \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Schritt 2.3.2

Das Integral von $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ nach $x$ ist $\arctan (x) + C_{2}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \arctan (x) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\arctan (y) = \arctan (x) + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\arctan (x) + K = \arctan (y)$ um.

$\arctan (x) + K = \arctan (y)$

Schritt 3.2

Subtrahiere $K$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\arctan (x) = \arctan (y) - K$

Schritt 3.3

Ziehe den inversen Arkustangens auf beiden Seiten der Gleichung, um $y$ aus dem Inneren des Arkustangens zu extrahieren.

$x = \tan (\arctan (y) - K)$

Schritt 3.4

Schreibe die Gleichung als $\tan (\arctan (y) - K) = x$ um.

$\tan (\arctan (y) - K) = x$

Schritt 3.5

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $\arctan (y)$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$\arctan (y) - K = \arctan (x)$

Schritt 3.6

Addiere $K$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\arctan (y) = \arctan (x) + K$

Schritt 3.7

Ziehe den inversen Arkustangens auf beiden Seiten der Gleichung, um $y$ aus dem Inneren des Arkustangens zu extrahieren.

$y = \tan (\arctan (x) + K)$

Schritt 3.8

Da $y$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$\tan (\arctan (y) - K) = x$

Schritt 3.9

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $\arctan (y)$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$\arctan (y) - K = \arctan (x)$

Schritt 3.10

Addiere $K$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\arctan (y) = \arctan (x) + K$

Schritt 3.11

Ziehe den inversen Arkustangens auf beiden Seiten der Gleichung, um $y$ aus dem Inneren des Arkustangens zu extrahieren.

$y = \tan (\arctan (x) + K)$