Analysis Beispiele

$x y \frac{d y}{d x} = (1 + x^{2}) (1 + y^{2})$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $x y \frac{d y}{d x} = (1 + x^{2}) (1 + y^{2})$ durch $x y$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.1

Teile jeden Ausdruck in $x y \frac{d y}{d x} = (1 + x^{2}) (1 + y^{2})$ durch $x y$ .

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}{x y}$

Schritt 1.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}{x y}$

Schritt 1.1.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}{x y}$

Schritt 1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}{x y}$

Schritt 1.1.2.2.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}{x y}$

Schritt 1.2

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + y^{2}}{y}$

Schritt 1.3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{y}{1 + y^{2}}$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y^{2}} (\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + y^{2}}{y})$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Mutltipliziere $\frac{1 + x^{2}}{x}$ mit $\frac{1 + y^{2}}{y}$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y^{2}} \cdot \frac{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}{x y}$

Schritt 1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.4.2.1

Faktorisiere $y$ aus $x y$ heraus.

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y^{2}} \cdot \frac{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}{y x}$

Schritt 1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y^{2}} \cdot \frac{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}{y x}$

Schritt 1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}{x}$

Schritt 1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + y^{2}$ .

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Schritt 1.4.3.1

Faktorisiere $1 + y^{2}$ aus $(1 + x^{2}) (1 + y^{2})$ heraus.

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{(1 + y^{2}) (1 + x^{2})}{x}$

Schritt 1.4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{(1 + y^{2}) (1 + x^{2})}{x}$

Schritt 1.4.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + x^{2}}{x}$

Schritt 1.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{1 + x^{2}}{x} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \int \frac{1 + x^{2}}{x} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Sei $u = 1 + y^{2}$ . Dann ist $d u = 2 y d y$ , folglich $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u = 1 + y^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Differenziere $1 + y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y^{2}]$

Schritt 2.2.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + y^{2}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 2.2.1.1.3

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 2.2.1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 + 2 y$

Schritt 2.2.1.1.5

Addiere $0$ und $2 y$ .

$2 y$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{1 + x^{2}}{x} d x$

Schritt 2.2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1 + x^{2}}{x} d x$

Schritt 2.2.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1 + x^{2}}{x} d x$

Schritt 2.2.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1 + x^{2}}{x} d x$

Schritt 2.2.4

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1 + x^{2}}{x} d x$

Schritt 2.2.5

Vereinfache.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1 + x^{2}}{x} d x$

Schritt 2.2.6

Ersetze alle $u$ durch $1 + y^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1 + x^{2}}{x} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} + \frac{x^{2}}{x} d x$

Schritt 2.3.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x^{2}}{x} d x$

Schritt 2.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 2.3.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x \cdot x}{x} d x$

Schritt 2.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x$

Schritt 2.3.3.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x$

Schritt 2.3.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x$

Schritt 2.3.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x}{1} d x$

Schritt 2.3.3.2.5

Dividiere $x$ durch $1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int x d x$

Schritt 2.3.4

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} + \int x d x$

Schritt 2.3.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{3}$

Schritt 2.3.6

Vereinfache.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \ln (| x |) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.7

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) = \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |)) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |))$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\ln (| 1 + y^{2} |)$ .

$2 \frac{\ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{\ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + \ln (| x |) + C)$

Schritt 3.2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 \ln (| x |) + 2 C$

Schritt 3.2.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 \ln (| x |) + 2 C$

Schritt 3.2.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = x^{2} + 2 \ln (| x |) + 2 C$

Schritt 3.3

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| 1 + y^{2} |) - 2 \ln (| x |) = x^{2} + 2 C$

Schritt 3.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.1

Vereinfache $\ln (| 1 + y^{2} |) - 2 \ln (| x |)$ .

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Schritt 3.4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.1.1.1

Vereinfache $- 2 \ln (| x |)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (| 1 + y^{2} |) - \ln ({| x |}^{2}) = x^{2} + 2 C$

Schritt 3.4.1.1.2

Entferne den Absolutwert in ${| x |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$\ln (| 1 + y^{2} |) - \ln (x^{2}) = x^{2} + 2 C$

Schritt 3.4.1.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 + y^{2} |}{x^{2}}) = x^{2} + 2 C$

Schritt 3.5

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (\frac{| 1 + y^{2} |}{x^{2}})} = e^{x^{2} + 2 C}$

Schritt 3.6

Schreibe $\ln (\frac{| 1 + y^{2} |}{x^{2}}) = x^{2} + 2 C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{x^{2} + 2 C} = \frac{| 1 + y^{2} |}{x^{2}}$

Schritt 3.7

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.7.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{| 1 + y^{2} |}{x^{2}} = e^{x^{2} + 2 C}$ um.

$\frac{| 1 + y^{2} |}{x^{2}} = e^{x^{2} + 2 C}$

Schritt 3.7.2

Multipliziere beide Seiten mit $x^{2}$ .

$\frac{| 1 + y^{2} |}{x^{2}} x^{2} = e^{x^{2} + 2 C} x^{2}$

Schritt 3.7.3

Vereinfache.

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Schritt 3.7.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.7.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 3.7.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{| 1 + y^{2} |}{x^{2}} x^{2} = e^{x^{2} + 2 C} x^{2}$

Schritt 3.7.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$| 1 + y^{2} | = e^{x^{2} + 2 C} x^{2}$

Schritt 3.7.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.7.3.2.1

Stelle die Faktoren in $e^{x^{2} + 2 C} x^{2}$ um.

$| 1 + y^{2} | = x^{2} e^{x^{2} + 2 C}$

Schritt 3.7.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.7.4.1

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$1 + y^{2} = \pm x^{2} e^{x^{2} + 2 C}$

Schritt 3.7.4.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} = \pm x^{2} e^{x^{2} + 2 C} - 1$

Schritt 3.7.4.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{\pm x^{2} e^{x^{2} + 2 C} - 1}$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \pm \sqrt{\pm x^{2} e^{x^{2} + C} - 1}$

Schritt 4.2

Schreibe $e^{x^{2} + C}$ als $e^{x^{2}} e^{C}$ um.

$y = \pm \sqrt{\pm x^{2} (e^{x^{2}} e^{C}) - 1}$

Schritt 4.3

Stelle $e^{x^{2}}$ und $e^{C}$ um.

$y = \pm \sqrt{\pm x^{2} (e^{C} e^{x^{2}}) - 1}$

Schritt 4.4

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = \pm \sqrt{C x^{2} e^{x^{2}} - 1}$