Analysis Beispiele

$(\cos (x) + \ln (y)) d x + (\frac{x}{y} + e^{y}) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = \cos (x) + \ln (y)$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\cos (x) + \ln (y)]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\cos (x) + \ln (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [\cos (x)] + \frac{d}{d y} [\ln (y)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\cos (x)] + \frac{d}{d y} [\ln (y)]$

Schritt 1.2.2

Da $\cos (x)$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\cos (x)$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [\ln (y)]$

Schritt 1.3

Die Ableitung von $\ln (y)$ nach $y$ ist $\frac{1}{y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{1}{y}$

Schritt 1.4

Addiere $0$ und $\frac{1}{y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{y}$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = \frac{x}{y} + e^{y}$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\frac{x}{y} + e^{y}]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{x}{y} + e^{y}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d x} [e^{y}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $\frac{1}{y}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{y}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $\frac{1}{y}$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y} + \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.4.1

Da $e^{y}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $e^{y}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y} + 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $\frac{1}{y}$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y}$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $\frac{1}{y}$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $\frac{1}{y}$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$\frac{1}{y} = \frac{1}{y}$

Schritt 3.2

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\frac{1}{y} = \frac{1}{y}$ ist eine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \cos (x) + \ln (y) d x$

Schritt 5

Integriere $M (x, y) = \cos (x) + \ln (y)$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 5.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f (x, y) = \int \cos (x) d x + \int \ln (y) d x$

Schritt 5.2

Das Integral von $\cos (x)$ nach $x$ ist $\sin (x)$ .

$f (x, y) = \sin (x) + C + \int \ln (y) d x$

Schritt 5.3

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = \sin (x) + C + \ln (y) x + C$

Schritt 5.4

Vereinfache.

$f (x, y) = \sin (x) + \ln (y) x + C$

Schritt 6

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = \sin (x) + \ln (y) x + g (y)$

Schritt 7

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x}{y} + e^{y}$

Schritt 8

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Schritt 8.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [\sin (x) + \ln (y) x + g (y)] = \frac{x}{y} + e^{y}$

Schritt 8.2

Differenziere.

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Schritt 8.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sin (x) + \ln (y) x + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [\sin (x)] + \frac{d}{d y} [\ln (y) x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\sin (x)] + \frac{d}{d y} [\ln (y) x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x}{y} + e^{y}$

Schritt 8.2.2

Da $\sin (x)$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\sin (x)$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [\ln (y) x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x}{y} + e^{y}$

Schritt 8.3

Berechne $\frac{d}{d y} [\ln (y) x]$ .

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Schritt 8.3.1

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\ln (y) x$ nach $y$ gleich $x \frac{d}{d y} [\ln (y)]$ .

$0 + x \frac{d}{d y} [\ln (y)] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x}{y} + e^{y}$

Schritt 8.3.2

Die Ableitung von $\ln (y)$ nach $y$ ist $\frac{1}{y}$ .

$0 + x \frac{1}{y} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x}{y} + e^{y}$

Schritt 8.3.3

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{y}$ .

$0 + \frac{x}{y} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x}{y} + e^{y}$

Schritt 8.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$0 + \frac{x}{y} + \frac{d g}{d y} = \frac{x}{y} + e^{y}$

Schritt 8.5

Vereinfache.

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Schritt 8.5.1

Addiere $0$ und $\frac{x}{y}$ .

$\frac{x}{y} + \frac{d g}{d y} = \frac{x}{y} + e^{y}$

Schritt 8.5.2

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x}{y} = \frac{x}{y} + e^{y}$

Schritt 9

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 9.1

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 9.1.1

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1.1.1

Subtrahiere $\frac{x}{y}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x}{y} - \frac{x}{y} = e^{y}$

Schritt 9.1.1.2

Subtrahiere $e^{y}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x}{y} - \frac{x}{y} - e^{y} = 0$

Schritt 9.1.1.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\frac{d g}{d y} + \frac{x}{y} - \frac{x}{y} - e^{y}$ .

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Schritt 9.1.1.3.1

Subtrahiere $\frac{x}{y}$ von $\frac{x}{y}$ .

$\frac{d g}{d y} + 0 - e^{y} = 0$

Schritt 9.1.1.3.2

Addiere $\frac{d g}{d y}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} - e^{y} = 0$

Schritt 9.1.2

Addiere $e^{y}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} = e^{y}$

Schritt 10

Bestimme die Stammfunktion von $e^{y}$ , um $g (y)$ zu finden.

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Schritt 10.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = e^{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int e^{y} d y$

Schritt 10.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int e^{y} d y$

Schritt 10.3

Das Integral von $e^{y}$ nach $y$ ist $e^{y}$ .

$g (y) = e^{y} + C$

Schritt 11

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = \sin (x) + \ln (y) x + g (y)$ ein.

$f (x, y) = \sin (x) + \ln (y) x + e^{y} + C$

Schritt 12

Stelle die Faktoren in $f (x, y) = \sin (x) + \ln (y) x + e^{y} + C$ um.

$f (x, y) = \sin (x) + x \ln (y) + e^{y} + C$