Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{y}$ , $y (0) = 3$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2}}{y}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2}}{y}$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y \frac{d y}{d x} = x^{2}$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$y d y = x^{2} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int y d y = \int x^{2} d x$

Schritt 2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int x^{2} d x$

Schritt 2.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{3} x^{3} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{3}}{3} + K)$

Schritt 3.2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} = 2 \frac{x^{3}}{3} + 2 K$

Schritt 3.2.2.1.3

Kombiniere $2$ und $\frac{x^{3}}{3}$ .

$y^{2} = \frac{2 x^{3}}{3} + 2 K$

Schritt 3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{3}}{3} + 2 K}$

Schritt 3.4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{2 x^{3}}{3} + 2 K}$ .

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $\frac{2 x^{3}}{3} + 2 K$ heraus.

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Schritt 3.4.1.1

Faktorisiere $2$ aus $\frac{2 x^{3}}{3}$ heraus.

$y = \pm \sqrt{2 \frac{x^{3}}{3} + 2 K}$

Schritt 3.4.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2 K$ heraus.

$y = \pm \sqrt{2 \frac{x^{3}}{3} + 2 K}$

Schritt 3.4.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 \frac{x^{3}}{3} + 2 K$ heraus.

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{x^{3}}{3} + K)}$

Schritt 3.4.2

Um $K$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{x^{3}}{3} + K \cdot \frac{3}{3})}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.4.3.1

Kombiniere $K$ und $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{x^{3}}{3} + \frac{K \cdot 3}{3})}$

Schritt 3.4.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \pm \sqrt{2 \frac{x^{3} + K \cdot 3}{3}}$

Schritt 3.4.4

Bringe $3$ auf die linke Seite von $K$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{x^{3} + 3 K}{3}}$

Schritt 3.4.5

Kombiniere $2$ und $\frac{x^{3} + 3 K}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (x^{3} + 3 K)}{3}}$

Schritt 3.4.6

Schreibe $\sqrt{\frac{2 (x^{3} + 3 K)}{3}}$ als $\frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3}}$ um.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3}}$

Schritt 3.4.7

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 3.4.8

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.4.8.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 3.4.8.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 3.4.8.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 3.4.8.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 3.4.8.5

Addiere $1$ und $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 3.4.8.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 3.4.8.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.4.8.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.4.8.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.4.8.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.8.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.4.8.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 3.4.8.6.5

Berechne den Exponenten.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3}$

Schritt 3.4.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.9.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K) \cdot 3}}{3}$

Schritt 3.4.9.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

Schritt 3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

Schritt 3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

Schritt 3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{3} + K)}}{3}$

Schritt 5

Da $y$ positiv in der Anfangsbedingung $(0, 3)$ ist, betrachte nur $y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + K)}}{3}$ um $K$ zu finden. Ersetze $0$ für $x$ und $3$ für $y$ .

$3 = \frac{\sqrt{6 (0^{3} + K)}}{3}$

Schritt 6

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{\sqrt{6 (0^{3} + K)}}{3} = 3$ um.

$\frac{\sqrt{6 (0^{3} + K)}}{3} = 3$

Schritt 6.2

Multipliziere beide Seiten mit $3$ .

$\frac{\sqrt{6 (0^{3} + K)}}{3} \cdot 3 = 3 \cdot 3$

Schritt 6.3

Vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.1.1

Vereinfache $\frac{\sqrt{6 (0^{3} + K)}}{3} \cdot 3$ .

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Schritt 6.3.1.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.3.1.1.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{\sqrt{6 (0 + K)}}{3} \cdot 3 = 3 \cdot 3$

Schritt 6.3.1.1.1.2

Addiere $0$ und $K$ .

$\frac{\sqrt{6 K}}{3} \cdot 3 = 3 \cdot 3$

Schritt 6.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{6 K}}{3} \cdot 3 = 3 \cdot 3$

Schritt 6.3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{6 K} = 3 \cdot 3$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\sqrt{6 K} = 9$

Schritt 6.4

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 6.4.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{6 K}}^{2} = 9^{2}$

Schritt 6.4.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 6.4.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6 K}$ als ${(6 K)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(6 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 9^{2}$

Schritt 6.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.4.2.2.1

Vereinfache ${({(6 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.4.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(6 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.4.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(6 K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 9^{2}$

Schritt 6.4.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.4.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(6 K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 9^{2}$

Schritt 6.4.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(6 K)}^{1} = 9^{2}$

Schritt 6.4.2.2.1.2

Vereinfache.

$6 K = 9^{2}$

Schritt 6.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.4.2.3.1

Potenziere $9$ mit $2$ .

$6 K = 81$

Schritt 6.4.3

Teile jeden Ausdruck in $6 K = 81$ durch $6$ und vereinfache.

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Schritt 6.4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $6 K = 81$ durch $6$ .

$\frac{6 K}{6} = \frac{81}{6}$

Schritt 6.4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 6.4.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 K}{6} = \frac{81}{6}$

Schritt 6.4.3.2.1.2

Dividiere $K$ durch $1$ .

$K = \frac{81}{6}$

Schritt 6.4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.4.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $81$ und $6$ .

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Schritt 6.4.3.3.1.1

Faktorisiere $3$ aus $81$ heraus.

$K = \frac{3 (27)}{6}$

Schritt 6.4.3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.4.3.3.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$K = \frac{3 \cdot 27}{3 \cdot 2}$

Schritt 6.4.3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$K = \frac{3 \cdot 27}{3 \cdot 2}$

Schritt 6.4.3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$K = \frac{27}{2}$

Schritt 7

Setze $\frac{27}{2}$ für $K$ in $y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + K)}}{3}$ ein und vereinfache.

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Schritt 7.1

Ersetze $K$ durch $\frac{27}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + \frac{27}{2})}}{3}$

Schritt 7.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.1

Um $x^{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{27}{2})}}{3}$

Schritt 7.2.2

Kombiniere $x^{3}$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt{6 (\frac{x^{3} \cdot 2}{2} + \frac{27}{2})}}{3}$

Schritt 7.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{\sqrt{6 \frac{x^{3} \cdot 2 + 27}{2}}}{3}$

Schritt 7.2.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{3}$ .

$y = \frac{\sqrt{6 \frac{2 x^{3} + 27}{2}}}{3}$

Schritt 7.2.5

Kombiniere $6$ und $\frac{2 x^{3} + 27}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt{\frac{6 (2 x^{3} + 27)}{2}}}{3}$

Schritt 7.2.6

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.6.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{6 (2 x^{3} + 27)}{2}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.6.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6 (2 x^{3} + 27)$ heraus.

$y = \frac{\sqrt{\frac{2 (3 (2 x^{3} + 27))}{2}}}{3}$

Schritt 7.2.6.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$y = \frac{\sqrt{\frac{2 (3 (2 x^{3} + 27))}{2 (1)}}}{3}$

Schritt 7.2.6.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{\sqrt{\frac{2 (3 (2 x^{3} + 27))}{2 \cdot 1}}}{3}$

Schritt 7.2.6.1.4

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{\sqrt{\frac{3 (2 x^{3} + 27)}{1}}}{3}$

Schritt 7.2.6.2

Dividiere $3 (2 x^{3} + 27)$ durch $1$ .

$y = \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} + 27)}}{3}$