Analysis Beispiele

$\sin (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = \sin (3 x)$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\sin (3 x)]$

Schritt 1.2

Da $\sin (3 x)$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\sin (3 x)$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = 2 y \cos^{3} (3 x)$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y \cos^{3} (3 x)]$

Schritt 2.2

Da $2 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 y \cos^{3} (3 x)$ nach $x$ gleich $2 y \frac{d}{d x} [\cos^{3} (3 x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \frac{d}{d x} [\cos^{3} (3 x)]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = \cos (3 x)$ .

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Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\cos (3 x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\cos (3 x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y (3 \cos^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y (\cos^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 3 x$ .

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Schritt 2.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $3 x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y \cos^{2} (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 2.5.2

Die Ableitung von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \sin (u_{2})$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y \cos^{2} (3 x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 2.5.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $3 x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y \cos^{2} (3 x) (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 2.6

Differenziere.

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Schritt 2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 6 y \cos^{2} (3 x) (\sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 2.6.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 6 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.6.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 6$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.6.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) \cdot 1$

Schritt 2.6.5

Mutltipliziere $- 18$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $0$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $- 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$0 = - 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$

Schritt 3.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$0 = - 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $0$ .

$\frac{0 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Schritt 4.2

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $- 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$ .

$\frac{0 - (- 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x))}{N}$

Schritt 4.3

Ersetze $N$ durch $2 y \cos^{3} (3 x)$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $N$ durch $2 y \cos^{3} (3 x)$ .

$\frac{0 - (- 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x))}{2 y \cos^{3} (3 x)}$

Schritt 4.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0 - (- 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x))$ und $2$ .

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Schritt 4.3.2.1

Stelle die Terme um.

$\frac{- 18 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + 0}{2 y \cos^{3} (3 x)}$

Schritt 4.3.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 18 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$ heraus.

$\frac{2 (- 9 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)) + 0}{2 y \cos^{3} (3 x)}$

Schritt 4.3.2.3

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$\frac{2 (- 9 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)) + 2 \cdot 0}{2 y \cos^{3} (3 x)}$

Schritt 4.3.2.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 9 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)) + 2 (0)$ heraus.

$\frac{2 (- 9 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + 0)}{2 y \cos^{3} (3 x)}$

Schritt 4.3.2.5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.2.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y \cos^{3} (3 x)$ heraus.

$\frac{2 (- 9 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + 0)}{2 (y \cos^{3} (3 x))}$

Schritt 4.3.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- 9 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + 0)}{2 (y \cos^{3} (3 x))}$

Schritt 4.3.2.5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 9 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + 0}{y \cos^{3} (3 x)}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.3.1

Mutltipliziere $- 9$ mit $- 1$ .

$\frac{9 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + 0}{y \cos^{3} (3 x)}$

Schritt 4.3.3.2

Addiere $9 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$ und $0$ .

$\frac{9 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)}{y \cos^{3} (3 x)}$

Schritt 4.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 4.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)}{y \cos^{3} (3 x)}$

Schritt 4.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{9 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)}{\cos^{3} (3 x)}$

Schritt 4.3.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $\cos^{2} (3 x)$ und $\cos^{3} (3 x)$ .

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Schritt 4.3.5.1

Faktorisiere $\cos^{2} (3 x)$ aus $9 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$ heraus.

$\frac{\cos^{2} (3 x) (9 \sin (3 x))}{\cos^{3} (3 x)}$

Schritt 4.3.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.5.2.1

Faktorisiere $\cos^{2} (3 x)$ aus $\cos^{3} (3 x)$ heraus.

$\frac{\cos^{2} (3 x) (9 \sin (3 x))}{\cos^{2} (3 x) \cos (3 x)}$

Schritt 4.3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos^{2} (3 x) (9 \sin (3 x))}{\cos^{2} (3 x) \cos (3 x)}$

Schritt 4.3.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{9 \sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

Schritt 4.3.6

Separiere Brüche.

$\frac{9}{1} \cdot \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

Schritt 4.3.7

Wandle von $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ nach $\tan (3 x)$ um.

$\frac{9}{1} \tan (3 x)$

Schritt 4.3.8

Dividiere $9$ durch $1$ .

$9 \tan (3 x)$

Schritt 4.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int 9 \tan (3 x) d x}$

Schritt 5

Berechne das Integral $e^{\int 9 \tan (3 x) d x}$ .

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Schritt 5.1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $9$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{9 \int \tan (3 x) d x}$

Schritt 5.2

Sei $u = 3 x$ . Dann ist $d u = 3 d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.2.1

Es sei $u = 3 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Differenziere $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 5.2.1.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Schritt 5.2.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3$

Schritt 5.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$μ (x, y) = e^{9 \int \tan (u) \frac{1}{3} d u}$

Schritt 5.3

Kombiniere $\tan (u)$ und $\frac{1}{3}$ .

$μ (x, y) = e^{9 \int \frac{\tan (u)}{3} d u}$

Schritt 5.4

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{9 (\frac{1}{3} \int \tan (u) d u)}$

Schritt 5.5

Vereinfache.

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Schritt 5.5.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $9$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{9}{3} \int \tan (u) d u}$

Schritt 5.5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $9$ und $3$ .

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Schritt 5.5.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$μ (x, y) = e^{\frac{3 \cdot 3}{3} \int \tan (u) d u}$

Schritt 5.5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.5.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$μ (x, y) = e^{\frac{3 \cdot 3}{3 (1)} \int \tan (u) d u}$

Schritt 5.5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$μ (x, y) = e^{\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} \int \tan (u) d u}$

Schritt 5.5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$μ (x, y) = e^{\frac{3}{1} \int \tan (u) d u}$

Schritt 5.5.2.2.4

Dividiere $3$ durch $1$ .

$μ (x, y) = e^{3 \int \tan (u) d u}$

Schritt 5.6

Das Integral von $\tan (u)$ nach $u$ ist $\ln (| \sec (u) |)$ .

$μ (x, y) = e^{3 (\ln (| \sec (u) |) + C)}$

Schritt 5.7

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{3 \ln (| \sec (u) |)} + C$

Schritt 5.8

Ersetze alle $u$ durch $3 x$ .

$μ (x, y) = e^{3 \ln (| \sec (3 x) |)} + C$

Schritt 5.9

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.9.1

Vereinfache $3 \ln (| \sec (3 x) |)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| \sec (3 x) |}^{3})} + C$

Schritt 5.9.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = {| \sec (3 x) |}^{3} + C$

Schritt 6

Multipliziere beide Seiten von $\sin (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $\sec^{3} (3 x)$ .

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $\sin (3 x)$ mit $\sec^{3} (3 x)$ .

$\sin (3 x) \sec^{3} (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Schritt 6.2

Schreibe $\sec (3 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\sin (3 x) {(\frac{1}{\cos (3 x)})}^{3} d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Schritt 6.3

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (3 x)}$ an.

$\sin (3 x) \frac{1^{3}}{\cos^{3} (3 x)} d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Schritt 6.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\sin (3 x) \frac{1}{\cos^{3} (3 x)} d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Schritt 6.5

Kombiniere $\sin (3 x)$ und $\frac{1}{\cos^{3} (3 x)}$ .

$\frac{\sin (3 x)}{\cos^{3} (3 x)} d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Schritt 6.6

Faktorisiere $\cos (3 x)$ aus $\cos^{3} (3 x)$ heraus.

$\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x) \cos^{2} (3 x)} d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Schritt 6.7

Separiere Brüche.

$\frac{1}{\cos^{2} (3 x)} \cdot \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)} d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Schritt 6.8

Wandle von $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ nach $\tan (3 x)$ um.

$\frac{1}{\cos^{2} (3 x)} \tan (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Schritt 6.9

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (3 x)} \tan (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Schritt 6.10

Schreibe $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (3 x)}$ als ${(\frac{1}{\cos (3 x)})}^{2}$ um.

${(\frac{1}{\cos (3 x)})}^{2} \tan (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Schritt 6.11

Wandle von $\frac{1}{\cos (3 x)}$ nach $\sec (3 x)$ um.

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Schritt 6.12

Mutltipliziere $2 y \cos^{3} (3 x)$ mit $\sec^{3} (3 x)$ .

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) \sec^{3} (3 x) d y = 0$

Schritt 6.13

Schreibe $\sec (3 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) {(\frac{1}{\cos (3 x)})}^{3} d y = 0$

Schritt 6.14

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (3 x)}$ an.

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) \frac{1^{3}}{\cos^{3} (3 x)} d y = 0$

Schritt 6.15

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos^{3} (3 x)$ .

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Schritt 6.15.1

Faktorisiere $\cos^{3} (3 x)$ aus $2 y \cos^{3} (3 x)$ heraus.

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + \cos^{3} (3 x) (2 y) \frac{1^{3}}{\cos^{3} (3 x)} d y = 0$

Schritt 6.15.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + \cos^{3} (3 x) (2 y) \frac{1^{3}}{\cos^{3} (3 x)} d y = 0$

Schritt 6.15.3

Forme den Ausdruck um.

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + 2 y \cdot 1^{3} d y = 0$

Schritt 6.16

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + 2 y \cdot 1 d y = 0$

Schritt 6.17

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + 2 y d y = 0$

Schritt 7

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 y d y$

Schritt 8

Integriere $N (x, y) = 2 y$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 8.1

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$f (x, y) = 2 \int y d y$

Schritt 8.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Schritt 8.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.3.1

Schreibe $2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ als $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ um.

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Schritt 8.3.2

Vereinfache.

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Schritt 8.3.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

Schritt 8.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x, y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

Schritt 8.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (x, y) = 1 y^{2} + C$

Schritt 8.3.2.3

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$f (x, y) = y^{2} + C$

Schritt 9

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = y^{2} + g (x)$

Schritt 10

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$

Schritt 11

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 11.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} + g (x)] = \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$

Schritt 11.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{2} + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$

Schritt 11.3

Da $y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y^{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$

Schritt 11.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$0 + \frac{d g}{d x} = \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$

Schritt 11.5

Addiere $0$ und $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{d g}{d x} = \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$

Schritt 12

Bestimme die Stammfunktion von $\sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 12.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x$

Schritt 12.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x$

Schritt 12.3

Sei $u_{2} = \sec (3 x)$ . Dann ist $d u_{2} = 3 \sec (3 x) \tan (3 x) d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u_{2} = \sec (3 x) \tan (3 x) d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 12.3.1

Es sei $u_{2} = \sec (3 x)$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 12.3.1.1

Differenziere $\sec (3 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Schritt 12.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sec (x)$ und $g (x) = 3 x$ .

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Schritt 12.3.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $3 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 12.3.1.2.2

Die Ableitung von $\sec (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ .

$\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 12.3.1.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $3 x$ .

$\sec (3 x) \tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 12.3.1.3

Differenziere.

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Schritt 12.3.1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec (3 x) \tan (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 12.3.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\sec (3 x) \tan (3 x) (3 \cdot 1)$

Schritt 12.3.1.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 12.3.1.3.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\sec (3 x) \tan (3 x) \cdot 3$

Schritt 12.3.1.3.3.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\sec (3 x) \tan (3 x)$ .

$3 \sec (3 x) \tan (3 x)$

Schritt 12.3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$g (x) = \int u_{2} \frac{1}{3} d u_{2}$

Schritt 12.4

Kombiniere $u_{2}$ und $\frac{1}{3}$ .

$g (x) = \int \frac{u_{2}}{3} d u_{2}$

Schritt 12.5

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$g (x) = \frac{1}{3} \int u_{2} d u_{2}$

Schritt 12.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u_{2}$ nach $u_{2}$ gleich $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Schritt 12.7

Schreibe $\frac{1}{3} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ als $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ um.

$g (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Schritt 12.8

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Schritt 12.8.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{3 \cdot 2} {u_{2}}^{2} + C$

Schritt 12.8.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$g (x) = \frac{1}{6} {u_{2}}^{2} + C$

Schritt 12.9

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\sec (3 x)$ .

$g (x) = \frac{1}{6} \sec^{2} (3 x) + C$

Schritt 13

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = y^{2} + g (x)$ ein.

$f (x, y) = y^{2} + \frac{1}{6} \sec^{2} (3 x) + C$

Schritt 14

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $\sec^{2} (3 x)$ .

$f (x, y) = y^{2} + \frac{\sec^{2} (3 x)}{6} + C$