Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (y - 2)}{x (y - 1)}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (y - 2)}{y - 1} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{y - 1}{y (y - 2)}$ .

$\frac{y - 1}{y (y - 2)} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y (y - 2)} (\frac{y (y - 2)}{y - 1} \cdot \frac{1}{x})$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $\frac{y (y - 2)}{y - 1}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y - 1}{y (y - 2)} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y (y - 2)} \cdot \frac{y (y - 2)}{(y - 1) x}$

Schritt 1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y - 1$ .

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Schritt 1.3.2.1

Faktorisiere $y - 1$ aus $(y - 1) x$ heraus.

$\frac{y - 1}{y (y - 2)} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y (y - 2)} \cdot \frac{y (y - 2)}{(y - 1) (x)}$

Schritt 1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y - 1}{y (y - 2)} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y (y - 2)} \cdot \frac{y (y - 2)}{(y - 1) x}$

Schritt 1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y - 1}{y (y - 2)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y (y - 2)} \cdot \frac{y (y - 2)}{x}$

Schritt 1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y (y - 2)$ .

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Schritt 1.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y - 1}{y (y - 2)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y (y - 2)} \cdot \frac{y (y - 2)}{x}$

Schritt 1.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y - 1}{y (y - 2)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{y - 1}{y (y - 2)} d y = \frac{1}{x} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{y - 1}{y (y - 2)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Sei $u = y (y - 2)$ . Dann ist $d u = (2 y - 2) d y$ , folglich $\frac{1}{2} d u = (y - 1) d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u = y (y - 2)$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Differenziere $y (y - 2)$ .

$\frac{d}{d y} [y (y - 2)]$

Schritt 2.2.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = y$ und $g (y) = y - 2$ .

$y \frac{d}{d y} [y - 2] + (y - 2) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.2.1.1.3

Differenziere.

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Schritt 2.2.1.1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y - 2$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$ .

$y (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]) + (y - 2) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.2.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$y (1 + \frac{d}{d y} [- 2]) + (y - 2) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.2.1.1.3.3

Da $- 2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$y (1 + 0) + (y - 2) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.2.1.1.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.1.1.3.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$y \cdot 1 + (y - 2) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.2.1.1.3.4.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y + (y - 2) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.2.1.1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$y + (y - 2) \cdot 1$

Schritt 2.2.1.1.3.6

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.2.1.1.3.6.1

Mutltipliziere $y - 2$ mit $1$ .

$y + y - 2$

Schritt 2.2.1.1.3.6.2

Addiere $y$ und $y$ .

$2 y - 2$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.4

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.5

Vereinfache.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.6

Ersetze alle $u$ durch $y (y - 2)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y (y - 2) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y (y - 2) |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\frac{1}{2} \ln (| y (y - 2) |) = \ln (| x |) + C$