Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x + x y^{2}}{2 + x^{2}}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $x$ aus $4 x + x y^{2}$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $4 x$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 4 + x y^{2}}{2 + x^{2}}$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $x$ aus $x y^{2}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 4 + x (y^{2})}{2 + x^{2}}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 4 + x (y^{2})$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot (4 + y^{2})}{2 + x^{2}}$

Schritt 1.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $4 + y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (4 + y^{2})}{2 + x^{2}}$

Schritt 1.2

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 + x^{2}} (4 + y^{2})$

Schritt 1.3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{4 + y^{2}}$ .

$\frac{1}{4 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 + y^{2}} (\frac{x}{2 + x^{2}} (4 + y^{2}))$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4 + y^{2}$ .

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Schritt 1.4.1

Faktorisiere $4 + y^{2}$ aus $\frac{x}{2 + x^{2}} (4 + y^{2})$ heraus.

$\frac{1}{4 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 + y^{2}} ((4 + y^{2}) \frac{x}{2 + x^{2}})$

Schritt 1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{4 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 + y^{2}} ((4 + y^{2}) \frac{x}{2 + x^{2}})$

Schritt 1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 + x^{2}}$

Schritt 1.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{4 + y^{2}} d y = \frac{x}{2 + x^{2}} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{4 + y^{2}} d y = \int \frac{x}{2 + x^{2}} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\int \frac{1}{2^{2} + y^{2}} d y = \int \frac{x}{2 + x^{2}} d x$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $\frac{1}{2^{2} + y^{2}}$ nach $y$ ist $\frac{1}{2} \arctan (\frac{y}{2}) + C_{1}$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{y}{2}) + C_{1} = \int \frac{x}{2 + x^{2}} d x$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.2.3.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\arctan (\frac{y}{2})$ .

$\frac{\arctan (\frac{y}{2})}{2} + C_{1} = \int \frac{x}{2 + x^{2}} d x$

Schritt 2.2.3.2

Schreibe $\frac{\arctan (\frac{y}{2})}{2} + C_{1}$ als $\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) + C_{1}$ um.

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) + C_{1} = \int \frac{x}{2 + x^{2}} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Sei $u = 2 + x^{2}$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.1.1

Es sei $u = 2 + x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Differenziere $2 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [2 + x^{2}]$

Schritt 2.3.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3.1.1.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3.1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Schritt 2.3.1.1.5

Addiere $0$ und $2 x$ .

$2 x$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) + C_{1} = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) + C_{1} = \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Schritt 2.3.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) + C_{1} = \int \frac{1}{2 u} d u$

Schritt 2.3.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 2.3.4

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

Schritt 2.3.6

Ersetze alle $u$ durch $2 + x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| 2 + x^{2} |) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) = \frac{1}{2} \ln (| 2 + x^{2} |) + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) = \frac{1}{2} \ln (| 2 + x^{2} |) + C$ mit $2$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.1.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) = \frac{1}{2} \ln (| 2 + x^{2} |) + C$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) \cdot 2 = \frac{1}{2} \ln (| 2 + x^{2} |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Schritt 3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{y}{2}) \cdot 2 = \frac{1}{2} \ln (| 2 + x^{2} |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Schritt 3.1.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\arctan (\frac{y}{2})$ .

$\frac{\arctan (\frac{y}{2})}{2} \cdot 2 = \frac{1}{2} \ln (| 2 + x^{2} |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Schritt 3.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\arctan (\frac{y}{2})}{2} \cdot 2 = \frac{1}{2} \ln (| 2 + x^{2} |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Schritt 3.1.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\arctan (\frac{y}{2}) = \frac{1}{2} \ln (| 2 + x^{2} |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Schritt 3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.3.1.1

Vereinfache $\frac{1}{2} \ln (| 2 + x^{2} |)$ , indem du $\frac{1}{2}$ in den Logarithmus ziehst.

$\arctan (\frac{y}{2}) = \ln ({| 2 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2 + C \cdot 2$

Schritt 3.1.3.1.2

Multipliziere $\ln ({| 2 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2$ .

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Schritt 3.1.3.1.2.1

Stelle $\ln ({| 2 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}})$ und $2$ um.

$\arctan (\frac{y}{2}) = 2 \cdot \ln ({| 2 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) + C \cdot 2$

Schritt 3.1.3.1.2.2

Vereinfache $2 \cdot \ln ({| 2 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}})$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\arctan (\frac{y}{2}) = \ln ({({| 2 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}})}^{2}) + C \cdot 2$

Schritt 3.1.3.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({| 2 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.1.3.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\arctan (\frac{y}{2}) = \ln ({| 2 + x^{2} |}^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + C \cdot 2$

Schritt 3.1.3.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.3.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\arctan (\frac{y}{2}) = \ln ({| 2 + x^{2} |}^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + C \cdot 2$

Schritt 3.1.3.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\arctan (\frac{y}{2}) = \ln ({| 2 + x^{2} |}^{1}) + C \cdot 2$

Schritt 3.1.3.1.4

Vereinfache.

$\arctan (\frac{y}{2}) = \ln (| 2 + x^{2} |) + C \cdot 2$

Schritt 3.1.3.1.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $C$ .

$\arctan (\frac{y}{2}) = \ln (| 2 + x^{2} |) + 2 C$

Schritt 3.2

Ziehe den inversen Arkustangens auf beiden Seiten der Gleichung, um $y$ aus dem Inneren des Arkustangens zu extrahieren.

$\frac{y}{2} = \tan (\ln (| 2 + x^{2} |) + 2 C)$

Schritt 3.3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{y}{2} = 2 \tan (\ln (| 2 + x^{2} |) + 2 C)$

Schritt 3.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{y}{2} = 2 \tan (\ln (| 2 + x^{2} |) + 2 C)$

Schritt 3.4.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = 2 \tan (\ln (| 2 + x^{2} |) + 2 C)$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = 2 \tan (\ln (| 2 + x^{2} |) + C)$