Analysis Beispiele

$x \frac{d y}{d x} = 7 y$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d y}{d x} = 7 y$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d y}{d x} = 7 y$ durch $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{7 y}{x}$

Schritt 1.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{7 y}{x}$

Schritt 1.1.2.1.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 y}{x}$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{7 y}{x}$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.3.1

Faktorisiere $y$ aus $7 y$ heraus.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y \cdot 7}{x}$

Schritt 1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y \cdot 7}{x}$

Schritt 1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{7}{x}$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y} d y = \frac{7}{x} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{7}{x} d x$

Schritt 2.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{7}{x} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $7$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 7 \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 7 (\ln (| x |) + C_{2})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache.

$\ln (| y |) + C_{1} = 7 \ln (| x |) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y |) = 7 \ln (| x |) + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| y |) - 7 \ln (| x |) = C$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache $\ln (| y |) - 7 \ln (| x |)$ .

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $- 7 \ln (| x |)$ , indem du $7$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (| y |) - \ln ({| x |}^{7}) = C$

Schritt 3.2.1.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{{| x |}^{7}}) = C$

Schritt 3.3

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (\frac{| y |}{{| x |}^{7}})} = e^{C}$

Schritt 3.4

Schreibe $\ln (\frac{| y |}{{| x |}^{7}}) = C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{{| x |}^{7}}$

Schritt 3.5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.5.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{| y |}{{| x |}^{7}} = e^{C}$ um.

$\frac{| y |}{{| x |}^{7}} = e^{C}$

Schritt 3.5.2

Multipliziere beide Seiten mit ${| x |}^{7}$ .

$\frac{| y |}{{| x |}^{7}} {| x |}^{7} = e^{C} {| x |}^{7}$

Schritt 3.5.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${| x |}^{7}$ .

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Schritt 3.5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{| y |}{{| x |}^{7}} {| x |}^{7} = e^{C} {| x |}^{7}$

Schritt 3.5.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$| y | = e^{C} {| x |}^{7}$

Schritt 3.5.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.5.4.1

Stelle die Faktoren in $e^{C} {| x |}^{7}$ um.

$| y | = {| x |}^{7} e^{C}$

Schritt 3.5.4.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y = \pm {| x |}^{7} e^{C}$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \pm {| x |}^{7} C$

Schritt 4.2

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = C {| x |}^{7}$