Analysis Beispiele

$(y + \sin (x)) d y + (y \cos (x) - 2 x) d x = 0$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung so um, dass sie der Technik der exakten Differentialgleichung entspricht.

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Schritt 1.1

Forme um.

$(y \cos (x) - 2 x) d x + (y + \sin (x)) d y = 0$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = y \cos (x) - 2 x$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y \cos (x) - 2 x]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y \cos (x) - 2 x$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y \cos (x)] + \frac{d}{d y} [- 2 x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y \cos (x)] + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d y} [y \cos (x)]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $\cos (x)$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $y \cos (x)$ nach $y$ gleich $\cos (x) \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x) + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.4.1

Da $- 2 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x) + 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $\cos (x)$ und $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x)$

Schritt 3

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = y + \sin (x)$ .

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Schritt 3.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y + \sin (x)]$

Schritt 3.2

Differenziere.

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Schritt 3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y + \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 3.2.2

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 3.3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \cos (x)$

Schritt 3.4

Addiere $0$ und $\cos (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (x)$

Schritt 4

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 4.1

Setze $\cos (x)$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $\cos (x)$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$\cos (x) = \cos (x)$

Schritt 4.2

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\cos (x) = \cos (x)$ ist eine Identitätsgleichung.

Schritt 5

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y + \sin (x) d y$

Schritt 6

Integriere $N (x, y) = y + \sin (x)$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 6.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f (x, y) = \int y d y + \int \sin (x) d y$

Schritt 6.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + C + \int \sin (x) d y$

Schritt 6.3

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + C + \sin (x) y + C$

Schritt 6.4

Vereinfache.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + \sin (x) y + C$

Schritt 7

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + \sin (x) y + g (x)$

Schritt 8

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y \cos (x) - 2 x$

Schritt 9

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 9.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2} + \sin (x) y + g (x)] = y \cos (x) - 2 x$

Schritt 9.2

Differenziere.

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Schritt 9.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{2} y^{2} + \sin (x) y + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \cos (x) - 2 x$

Schritt 9.2.2

Da $\frac{1}{2} y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{2} y^{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\sin (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \cos (x) - 2 x$

Schritt 9.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\sin (x) y]$ .

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Schritt 9.3.1

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\sin (x) y$ nach $x$ gleich $y \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$0 + y \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \cos (x) - 2 x$

Schritt 9.3.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$0 + y \cos (x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \cos (x) - 2 x$

Schritt 9.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$0 + y \cos (x) + \frac{d g}{d x} = y \cos (x) - 2 x$

Schritt 9.5

Vereinfache.

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Schritt 9.5.1

Addiere $0$ und $y \cos (x)$ .

$y \cos (x) + \frac{d g}{d x} = y \cos (x) - 2 x$

Schritt 9.5.2

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} + y \cos (x) = y \cos (x) - 2 x$

Schritt 10

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 10.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 10.1.1

Subtrahiere $y \cos (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} = y \cos (x) - 2 x - y \cos (x)$

Schritt 10.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $y \cos (x) - 2 x - y \cos (x)$ .

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Schritt 10.1.2.1

Subtrahiere $y \cos (x)$ von $y \cos (x)$ .

$\frac{d g}{d x} = - 2 x + 0$

Schritt 10.1.2.2

Addiere $- 2 x$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - 2 x$

Schritt 11

Bestimme die Stammfunktion von $- 2 x$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 11.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = - 2 x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - 2 x d x$

Schritt 11.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - 2 x d x$

Schritt 11.3

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$g (x) = - 2 \int x d x$

Schritt 11.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 11.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 11.5.1

Schreibe $- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ als $- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ um.

$g (x) = - 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Schritt 11.5.2

Vereinfache.

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Schritt 11.5.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \frac{- 2}{2} x^{2} + C$

Schritt 11.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 11.5.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$g (x) = \frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C$

Schritt 11.5.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.5.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$g (x) = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C$

Schritt 11.5.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$g (x) = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

Schritt 11.5.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$g (x) = \frac{- 1}{1} x^{2} + C$

Schritt 11.5.2.2.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$g (x) = - x^{2} + C$

Schritt 12

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + \sin (x) y + g (x)$ ein.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + \sin (x) y - x^{2} + C$

Schritt 13

Vereinfache $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + \sin (x) y - x^{2} + C$ .

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Schritt 13.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} + \sin (x) y - x^{2} + C$

Schritt 13.2

Stelle die Faktoren in $f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} + \sin (x) y - x^{2} + C$ um.

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} + y \sin (x) - x^{2} + C$