Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2} + 4 x + 2}{2 y - 2}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $2 y - 2$ .

$(2 y - 2) \frac{d y}{d x} = (2 y - 2) \frac{3 x^{2} + 4 x + 2}{2 y - 2}$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y - 2$ heraus.

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Schritt 1.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y$ heraus.

$(2 y - 2) \frac{d y}{d x} = (2 y - 2) \frac{3 x^{2} + 4 x + 2}{2 (y) - 2}$

Schritt 1.2.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$(2 y - 2) \frac{d y}{d x} = (2 y - 2) \frac{3 x^{2} + 4 x + 2}{2 (y) + 2 (- 1)}$

Schritt 1.2.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (y) + 2 (- 1)$ heraus.

$(2 y - 2) \frac{d y}{d x} = (2 y - 2) \frac{3 x^{2} + 4 x + 2}{2 (y - 1)}$

Schritt 1.2.2

Mutltipliziere $2 y - 2$ mit $\frac{3 x^{2} + 4 x + 2}{2 (y - 1)}$ .

$(2 y - 2) \frac{d y}{d x} = \frac{(2 y - 2) (3 x^{2} + 4 x + 2)}{2 (y - 1)}$

Schritt 1.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 y - 2$ und $2$ .

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Schritt 1.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $(2 y - 2) (3 x^{2} + 4 x + 2)$ heraus.

$(2 y - 2) \frac{d y}{d x} = \frac{2 ((y - 1) (3 x^{2} + 4 x + 2))}{2 (y - 1)}$

Schritt 1.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(2 y - 2) \frac{d y}{d x} = \frac{2 ((y - 1) (3 x^{2} + 4 x + 2))}{2 (y - 1)}$

Schritt 1.2.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$(2 y - 2) \frac{d y}{d x} = \frac{(y - 1) (3 x^{2} + 4 x + 2)}{y - 1}$

Schritt 1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y - 1$ .

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Schritt 1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(2 y - 2) \frac{d y}{d x} = \frac{(y - 1) (3 x^{2} + 4 x + 2)}{y - 1}$

Schritt 1.2.4.2

Dividiere $3 x^{2} + 4 x + 2$ durch $1$ .

$(2 y - 2) \frac{d y}{d x} = 3 x^{2} + 4 x + 2$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$(2 y - 2) d y = (3 x^{2} + 4 x + 2) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int 2 y - 2 d y = \int 3 x^{2} + 4 x + 2 d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 2 y d y + \int - 2 d y = \int 3 x^{2} + 4 x + 2 d x$

Schritt 2.2.2

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int y d y + \int - 2 d y = \int 3 x^{2} + 4 x + 2 d x$

Schritt 2.2.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + \int - 2 d y = \int 3 x^{2} + 4 x + 2 d x$

Schritt 2.2.4

Wende die Konstantenregel an.

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) - 2 y + C_{2} = \int 3 x^{2} + 4 x + 2 d x$

Schritt 2.2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.2.5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$2 (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) - 2 y + C_{2} = \int 3 x^{2} + 4 x + 2 d x$

Schritt 2.2.5.2

Vereinfache.

$y^{2} - 2 y + C_{3} = \int 3 x^{2} + 4 x + 2 d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y^{2} - 2 y + C_{3} = \int 3 x^{2} d x + \int 4 x d x + \int 2 d x$

Schritt 2.3.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$y^{2} - 2 y + C_{3} = 3 \int x^{2} d x + \int 4 x d x + \int 2 d x$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y^{2} - 2 y + C_{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + \int 4 x d x + \int 2 d x$

Schritt 2.3.4

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$y^{2} - 2 y + C_{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + 4 \int x d x + \int 2 d x$

Schritt 2.3.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y^{2} - 2 y + C_{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5}) + \int 2 d x$

Schritt 2.3.6

Wende die Konstantenregel an.

$y^{2} - 2 y + C_{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5}) + 2 x + C_{6}$

Schritt 2.3.7

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.1

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$y^{2} - 2 y + C_{3} = 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{4}) + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5}) + 2 x + C_{6}$

Schritt 2.3.7.1.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$y^{2} - 2 y + C_{3} = 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{4}) + 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{5}) + 2 x + C_{6}$

Schritt 2.3.7.2

Vereinfache.

$y^{2} - 2 y + C_{3} = x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + C_{7}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y^{2} - 2 y = x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere $x^{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} - 2 y - x^{3} = 2 x^{2} + 2 x + K$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $2 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} - 2 y - x^{3} - 2 x^{2} = 2 x + K$

Schritt 3.1.3

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} - 2 y - x^{3} - 2 x^{2} - 2 x = K$

Schritt 3.1.4

Subtrahiere $K$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} - 2 y - x^{3} - 2 x^{2} - 2 x - K = 0$

Schritt 3.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.3

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 2$ und $c = - x^{3} - 2 x^{2} - 2 x - K$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x^{3} - 2 x^{2} - 2 x - K))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (- x^{3} - 2 x^{2} - 2 x - K)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (- x^{3} - 2 x^{2} - 2 x - K)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 (- x^{3}) - 4 (- 2 x^{2}) - 4 (- 2 x) - 4 (- K)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 x^{3} - 4 (- 2 x^{2}) - 4 (- 2 x) - 4 (- K)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.4.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 x^{3} + 8 x^{2} - 4 (- 2 x) - 4 (- K)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.4.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x - 4 (- K)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x + 4 K}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.5

Faktorisiere $4$ aus $4 + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x + 4 K$ heraus.

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Schritt 3.4.1.5.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x + 4 K}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.5.2

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 (x^{3}) + 8 x^{2} + 8 x + 4 K}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.5.3

Faktorisiere $4$ aus $8 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 (x^{3}) + 4 (2 x^{2}) + 8 x + 4 K}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.5.4

Faktorisiere $4$ aus $8 x$ heraus.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 (x^{3}) + 4 (2 x^{2}) + 4 (2 x) + 4 K}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.5.5

Faktorisiere $4$ aus $4 \cdot 1 + 4 (x^{3})$ heraus.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot (1 + x^{3}) + 4 (2 x^{2}) + 4 (2 x) + 4 K}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.5.6

Faktorisiere $4$ aus $4 \cdot (1 + x^{3}) + 4 (2 x^{2})$ heraus.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot (1 + x^{3} + 2 x^{2}) + 4 (2 x) + 4 K}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.5.7

Faktorisiere $4$ aus $4 \cdot (1 + x^{3} + 2 x^{2}) + 4 (2 x)$ heraus.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot (1 + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x) + 4 K}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.5.8

Faktorisiere $4$ aus $4 \cdot (1 + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x) + 4 K$ heraus.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1 + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.6

Schreibe $4 (1 + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K)$ als $2^{2} (1^{2} + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K)$ um.

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Schritt 3.4.1.6.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1 + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.6.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1^{2} + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1^{2} + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.8

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K}}{2}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K}}{2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{1 + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K}$

Schritt 3.5

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = 1 + \sqrt{1 + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K}$

$y = 1 - \sqrt{1 + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K}$

$y = 1 + \sqrt{1 + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K}$

$y = 1 - \sqrt{1 + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K}$