Analysis Beispiele

$(1 + x^{2}) \frac{d y}{d x} + 2 x y = x$

Schritt 1

Prüfe, ob die linke Seite der Gleichung das Ergebnis der Ableitung des Ausdrucks $(1 + x^{2}) y$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 1 + x^{2}$ und $g (x) = y$ .

$(1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Schritt 1.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$(1 + x^{2}) y' + y \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Schritt 1.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(1 + x^{2}) y' + y (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 1.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(1 + x^{2}) y' + y (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 1.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(1 + x^{2}) y' + y (0 + 2 x)$

Schritt 1.6

Addiere $0$ und $2 x$ .

$(1 + x^{2}) y' + y (2 x)$

Schritt 1.7

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$(1 + x^{2}) \frac{d y}{d x} + y (2 x)$

Schritt 1.8

Stelle $1$ und $x^{2}$ um.

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + y (2 x)$

Schritt 1.9

Entferne die Klammern.

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + y \cdot 2 x$

Schritt 1.10

Bewege $y$ .

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + 2 x y$

Schritt 2

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [(1 + x^{2}) y] = x$

Schritt 3

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [(1 + x^{2}) y] d x = \int x d x$

Schritt 4

Integriere die linke Seite.

$(1 + x^{2}) y = \int x d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$(1 + x^{2}) y = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 6

Teile jeden Ausdruck in $(1 + x^{2}) y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ durch $1 + x^{2}$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Teile jeden Ausdruck in $(1 + x^{2}) y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ durch $1 + x^{2}$ .

$\frac{(1 + x^{2}) y}{1 + x^{2}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(1 + x^{2}) y}{1 + x^{2}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

Schritt 6.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$y = \frac{\frac{x^{2}}{2}}{1 + x^{2}} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

Schritt 6.3.1.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y = \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

Schritt 6.3.1.3

Mutltipliziere $\frac{x^{2}}{2}$ mit $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2 (1 + x^{2})} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

Schritt 6.3.2

Um $\frac{C}{1 + x^{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2 (1 + x^{2})} + \frac{C}{1 + x^{2}} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 6.3.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $2 (1 + x^{2})$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{C}{1 + x^{2}}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2 (1 + x^{2})} + \frac{C \cdot 2}{(1 + x^{2}) \cdot 2}$

Schritt 6.3.3.2

Stelle die Faktoren von $(1 + x^{2}) \cdot 2$ um.

$y = \frac{x^{2}}{2 (1 + x^{2})} + \frac{C \cdot 2}{2 (1 + x^{2})}$

Schritt 6.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{x^{2} + C \cdot 2}{2 (1 + x^{2})}$

Schritt 6.3.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $C$ .

$y = \frac{x^{2} + 2 C}{2 (1 + x^{2})}$