Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = {(3 x + 2)}^{- 2}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = {(3 x + 2)}^{- 2} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int {(3 x + 2)}^{- 2} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int {(3 x + 2)}^{- 2} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Sei $u = 3 x + 2$ . Dann ist $d u = 3 d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.1.1

Es sei $u = 3 x + 2$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Differenziere $3 x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 2]$

Schritt 2.3.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.3.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Schritt 2.3.1.1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.3.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.3.1.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.3.1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.3.1.1.4.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 + 0$

Schritt 2.3.1.1.4.2

Addiere $3$ und $0$ .

$3$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$y + C_{1} = \int u^{- 2} \frac{1}{3} d u$

Schritt 2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.2.1

Kombiniere $u^{- 2}$ und $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{u^{- 2}}{3} d u$

Schritt 2.3.2.2

Bringe $u^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{3 u^{2}} d u$

Schritt 2.3.3

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Schritt 2.3.4

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.3.4.1

Bringe $u^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Schritt 2.3.4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Schritt 2.3.4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int u^{- 2} d u$

Schritt 2.3.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- 2}$ nach $u$ gleich $- u^{- 1}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (- u^{- 1} + C_{2})$

Schritt 2.3.6

Vereinfache.

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Schritt 2.3.6.1

Schreibe $\frac{1}{3} (- u^{- 1} + C_{2})$ als $\frac{1}{3} (- \frac{1}{u}) + C_{2}$ um.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (- \frac{1}{u}) + C_{2}$

Schritt 2.3.6.2

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{1}{u}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{3 u} + C_{2}$

Schritt 2.3.7

Ersetze alle $u$ durch $3 x + 2$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{3 (3 x + 2)} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = - \frac{1}{3 (3 x + 2)} + K$