Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{3} x \sqrt{1 - 9 y^{2}}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} (\frac{2}{3} x \sqrt{1 - 9 y^{2}})$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} (x \sqrt{1 - 9 y^{2}})$

Schritt 1.2.2

Kombinieren.

$\frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot 1}{3 \sqrt{1 - 9 y^{2}}} (x \sqrt{1 - 9 y^{2}})$

Schritt 1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{1 - 9 y^{2}}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Faktorisiere $\sqrt{1 - 9 y^{2}}$ aus $3 \sqrt{1 - 9 y^{2}}$ heraus.

$\frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot 1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}} \cdot 3} (x \sqrt{1 - 9 y^{2}})$

Schritt 1.2.3.2

Faktorisiere $\sqrt{1 - 9 y^{2}}$ aus $x \sqrt{1 - 9 y^{2}}$ heraus.

$\frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot 1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}} \cdot 3} (\sqrt{1 - 9 y^{2}} x)$

Schritt 1.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot 1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}} \cdot 3} (\sqrt{1 - 9 y^{2}} x)$

Schritt 1.2.3.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot 1}{3} x$

Schritt 1.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{3} x$

Schritt 1.2.5

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{3}$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} d y = \frac{2 x}{3} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} d y = \int \frac{2 x}{3} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Formuliere den Ausdruck mithilfe von Exponenten.

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Schritt 2.2.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - 9 y^{2}}} d y = \int \frac{2 x}{3} d x$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe $9 y^{2}$ als ${(3 y)}^{2}$ um.

$\int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - {(3 y)}^{2}}} d y = \int \frac{2 x}{3} d x$

Schritt 2.2.2

Sei $u = 3 y$ . Dann ist $d u = 3 d y$ , folglich $\frac{1}{3} d u = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.2.2.1

Es sei $u = 3 y$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Differenziere $3 y$ .

$\frac{d}{d y} [3 y]$

Schritt 2.2.2.1.2

Da $3$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $3 y$ nach $y$ gleich $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.2.2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Schritt 2.2.2.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3$

Schritt 2.2.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u = \int \frac{2 x}{3} d x$

Schritt 2.2.3

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}} d u = \int \frac{2 x}{3} d x$

Schritt 2.2.4

Das Integral von $\frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}}$ nach $u$ ist $\arcsin (u)$

$\frac{1}{3} (\arcsin (u) + C_{1}) = \int \frac{2 x}{3} d x$

Schritt 2.2.5

Vereinfache.

$\frac{1}{3} \arcsin (u) + C_{1} = \int \frac{2 x}{3} d x$

Schritt 2.2.6

Ersetze alle $u$ durch $3 y$ .

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) + C_{1} = \int \frac{2 x}{3} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $\frac{2}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{2}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) + C_{1} = \frac{2}{3} \int x d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) + C_{1} = \frac{2}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.3.3.1

Schreibe $\frac{2}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ als $\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ um.

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) + C_{1} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) + C_{1} = \frac{2}{3 \cdot 2} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) + C_{1} = \frac{2}{6} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $6$ .

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Schritt 2.3.3.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) + C_{1} = \frac{2 (1)}{6} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.3.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) = \frac{1}{3} x^{2} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{3} \arcsin (3 y) = \frac{1}{3} x^{2} + K$ mit $3$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.1.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{3} \arcsin (3 y) = \frac{1}{3} x^{2} + K$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) \cdot 3 = \frac{1}{3} x^{2} \cdot 3 + K \cdot 3$

Schritt 3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.2.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\arcsin (3 y)$ .

$\frac{\arcsin (3 y)}{3} \cdot 3 = \frac{1}{3} x^{2} \cdot 3 + K \cdot 3$

Schritt 3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\arcsin (3 y)}{3} \cdot 3 = \frac{1}{3} x^{2} \cdot 3 + K \cdot 3$

Schritt 3.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\arcsin (3 y) = \frac{1}{3} x^{2} \cdot 3 + K \cdot 3$

Schritt 3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.3.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{2}$ .

$\arcsin (3 y) = \frac{x^{2}}{3} \cdot 3 + K \cdot 3$

Schritt 3.1.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.1.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\arcsin (3 y) = \frac{x^{2}}{3} \cdot 3 + K \cdot 3$

Schritt 3.1.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\arcsin (3 y) = x^{2} + K \cdot 3$

Schritt 3.1.3.1.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $K$ .

$\arcsin (3 y) = x^{2} + 3 K$

Schritt 3.2

Nimm den inversen Arcussinus von beiden Seiten der Gleichung, um $y$ aus dem Arcussinus zu ziehen.

$3 y = \sin (x^{2} + 3 K)$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $3 y = \sin (x^{2} + 3 K)$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y = \sin (x^{2} + 3 K)$ durch $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\sin (x^{2} + 3 K)}{3}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\sin (x^{2} + 3 K)}{3}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\sin (x^{2} + 3 K)}{3}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{\sin (x^{2} + K)}{3}$