Analysis Beispiele

$x \frac{d x}{d y} = 4 y$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$x d x = 4 y d y$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int x d x = \int 4 y d y$

Schritt 2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int 4 y d y$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = 4 \int y d y$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{2})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.3.3.1

Schreibe $4 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{2})$ als $4 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{2}$ um.

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = 4 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.2.1

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \frac{4}{2} y^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 2.3.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2} y^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.3.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} y^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} y^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \frac{2}{1} y^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = 2 y^{2} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{2} x^{2} = 2 y^{2} + K$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2}) = 2 (2 y^{2} + K)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} x^{2})$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$2 \frac{x^{2}}{2} = 2 (2 y^{2} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{x^{2}}{2} = 2 (2 y^{2} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} = 2 (2 y^{2} + K)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $2 (2 y^{2} + K)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} = 2 (2 y^{2}) + 2 K$

Schritt 3.2.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x^{2} = 4 y^{2} + 2 K$

Schritt 3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{4 y^{2} + 2 K}$

Schritt 3.4

Faktorisiere $2$ aus $4 y^{2} + 2 K$ heraus.

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4 y^{2}$ heraus.

$x = \pm \sqrt{2 (2 y^{2}) + 2 K}$

Schritt 3.4.2

Faktorisiere $2$ aus $2 K$ heraus.

$x = \pm \sqrt{2 (2 y^{2}) + 2 K}$

Schritt 3.4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 y^{2}) + 2 K$ heraus.

$x = \pm \sqrt{2 (2 y^{2} + K)}$

Schritt 3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{2 (2 y^{2} + K)}$

Schritt 3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{2 (2 y^{2} + K)}$

Schritt 3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{2 (2 y^{2} + K)}$

$x = - \sqrt{2 (2 y^{2} + K)}$

$x = \sqrt{2 (2 y^{2} + K)}$

$x = - \sqrt{2 (2 y^{2} + K)}$

$x = \sqrt{2 (2 y^{2} + K)}$

$x = - \sqrt{2 (2 y^{2} + K)}$