Analysis Beispiele

$(4 + e^{2 y}) d x = x e^{2 y} d y$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$x e^{2 y} d y = (4 + e^{2 y}) d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{x (4 + e^{2 y})}$ .

$\frac{1}{x (4 + e^{2 y})} (x e^{2 y}) d y = \frac{1}{x (4 + e^{2 y})} (4 + e^{2 y}) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x e^{2 y}$ heraus.

$\frac{1}{x (4 + e^{2 y})} (x (e^{2 y})) d y = \frac{1}{x (4 + e^{2 y})} (4 + e^{2 y}) d x$

Schritt 3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{x (4 + e^{2 y})} (x e^{2 y}) d y = \frac{1}{x (4 + e^{2 y})} (4 + e^{2 y}) d x$

Schritt 3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4 + e^{2 y}} e^{2 y} d y = \frac{1}{x (4 + e^{2 y})} (4 + e^{2 y}) d x$

Schritt 3.2

Kombiniere $\frac{1}{4 + e^{2 y}}$ und $e^{2 y}$ .

$\frac{e^{2 y}}{4 + e^{2 y}} d y = \frac{1}{x (4 + e^{2 y})} (4 + e^{2 y}) d x$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4 + e^{2 y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Faktorisiere $4 + e^{2 y}$ aus $x (4 + e^{2 y})$ heraus.

$\frac{e^{2 y}}{4 + e^{2 y}} d y = \frac{1}{(4 + e^{2 y}) x} (4 + e^{2 y}) d x$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{2 y}}{4 + e^{2 y}} d y = \frac{1}{(4 + e^{2 y}) x} (4 + e^{2 y}) d x$

Schritt 3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{e^{2 y}}{4 + e^{2 y}} d y = \frac{1}{x} d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{e^{2 y}}{4 + e^{2 y}} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2

Integriere die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Sei $u_{2} = 4 + e^{2 y}$ . Dann ist $d u_{2} = 2 e^{2 y} d y$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = e^{2 y} d y$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1

Es sei $u_{2} = 4 + e^{2 y}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1.1

Differenziere $4 + e^{2 y}$ .

$\frac{d}{d y} [4 + e^{2 y}]$

Schritt 4.2.1.1.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 + e^{2 y}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [4] + \frac{d}{d y} [e^{2 y}]$ .

$\frac{d}{d y} [4] + \frac{d}{d y} [e^{2 y}]$

Schritt 4.2.1.1.2.2

Da $4$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [e^{2 y}]$

Schritt 4.2.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [e^{2 y}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = e^{y}$ und $g (y) = 2 y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $2 y$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d y} [2 y]$

Schritt 4.2.1.1.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$0 + e^{u_{1}} \frac{d}{d y} [2 y]$

Schritt 4.2.1.1.3.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 y$ .

$0 + e^{2 y} \frac{d}{d y} [2 y]$

Schritt 4.2.1.1.3.2

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 y$ nach $y$ gleich $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + e^{2 y} (2 \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 4.2.1.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + e^{2 y} (2 \cdot 1)$

Schritt 4.2.1.1.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$0 + e^{2 y} \cdot 2$

Schritt 4.2.1.1.3.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{2 y}$ .

$0 + 2 e^{2 y}$

Schritt 4.2.1.1.4

Addiere $0$ und $2 e^{2 y}$ .

$2 e^{2 y}$

Schritt 4.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u_{2}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u_{2}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.4

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.5

Vereinfache.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.6

Ersetze alle $u_{2}$ durch $4 + e^{2 y}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + e^{2 y} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.3

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + e^{2 y} |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + e^{2 y} |) = \ln (| x |) + C$