Analysis Beispiele

$(3 x - 1) \frac{d y}{d x} = 6 y - 10 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ um.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $6 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$(3 x - 1) \frac{d y}{d x} - 6 y = - 10 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 1.2

Teile jeden Ausdruck in $(3 x - 1) \frac{d y}{d x} - 6 y = - 10 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ durch $3 x - 1$ .

$\frac{(3 x - 1) \frac{d y}{d x}}{3 x - 1} + \frac{- 6 y}{3 x - 1} = \frac{- 10 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{3 x - 1}$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 x - 1$ .

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Schritt 1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(3 x - 1) \frac{d y}{d x}}{3 x - 1} + \frac{- 6 y}{3 x - 1} = \frac{- 10 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{3 x - 1}$

Schritt 1.3.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 6 y}{3 x - 1} = \frac{- 10 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{3 x - 1}$

Schritt 1.4

Faktorisiere $3 x - 1$ aus $- 10 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 6 y}{3 x - 1} = \frac{(3 x - 1) (- 10 {(3 x - 1)}^{\frac{- 2}{3}})}{3 x - 1}$

Schritt 1.5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 6 y}{3 x - 1} = \frac{(3 x - 1) (- 10 {(3 x - 1)}^{\frac{- 2}{3}})}{(3 x - 1) \cdot 1}$

Schritt 1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 6 y}{3 x - 1} = \frac{(3 x - 1) (- 10 {(3 x - 1)}^{\frac{- 2}{3}})}{(3 x - 1) \cdot 1}$

Schritt 1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 6 y}{3 x - 1} = \frac{- 10 {(3 x - 1)}^{\frac{- 2}{3}}}{1}$

Schritt 1.5.4

Dividiere $- 10 {(3 x - 1)}^{\frac{- 2}{3}}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 6 y}{3 x - 1} = - 10 {(3 x - 1)}^{\frac{- 2}{3}}$

Schritt 1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 6 y}{3 x - 1} = - 10 {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$

Schritt 1.7

Faktorisiere $y$ aus $\frac{- 6 y}{3 x - 1}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 6}{3 x - 1} = - 10 {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$

Schritt 1.8

Stelle $y$ und $\frac{- 6}{3 x - 1}$ um.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 6}{3 x - 1} y = - 10 {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = \frac{- 6}{3 x - 1}$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int \frac{- 6}{3 x - 1} d x}$

Schritt 2.2

Integriere $\frac{- 6}{3 x - 1}$ .

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Schritt 2.2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e^{\int - \frac{6}{3 x - 1} d x}$

Schritt 2.2.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- \int \frac{6}{3 x - 1} d x}$

Schritt 2.2.3

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$e^{- (6 \int \frac{1}{3 x - 1} d x)}$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$e^{- 6 \int \frac{1}{3 x - 1} d x}$

Schritt 2.2.5

Sei $u = 3 x - 1$ . Dann ist $d u = 3 d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.2.5.1

Es sei $u = 3 x - 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.2.5.1.1

Differenziere $3 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [3 x - 1]$

Schritt 2.2.5.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.2.5.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Schritt 2.2.5.1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.2.5.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.2.5.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.2.5.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.2.5.1.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 + 0$

Schritt 2.2.5.1.4.2

Addiere $3$ und $0$ .

$3$

Schritt 2.2.5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$e^{- 6 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u}$

Schritt 2.2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.2.6.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$e^{- 6 \int \frac{1}{u \cdot 3} d u}$

Schritt 2.2.6.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $u$ .

$e^{- 6 \int \frac{1}{3 u} d u}$

Schritt 2.2.7

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$e^{- 6 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u)}$

Schritt 2.2.8

Vereinfache.

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Schritt 2.2.8.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 6$ .

$e^{\frac{- 6}{3} \int \frac{1}{u} d u}$

Schritt 2.2.8.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $3$ .

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Schritt 2.2.8.2.1

Faktorisiere $3$ aus $- 6$ heraus.

$e^{\frac{3 \cdot - 2}{3} \int \frac{1}{u} d u}$

Schritt 2.2.8.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.8.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$e^{\frac{3 \cdot - 2}{3 (1)} \int \frac{1}{u} d u}$

Schritt 2.2.8.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{\frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u}$

Schritt 2.2.8.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e^{\frac{- 2}{1} \int \frac{1}{u} d u}$

Schritt 2.2.8.2.2.4

Dividiere $- 2$ durch $1$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{u} d u}$

Schritt 2.2.9

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| u |) + C)}$

Schritt 2.2.10

Vereinfache.

$e^{- 2 \ln (| u |) + C}$

Schritt 2.2.11

Ersetze alle $u$ durch $3 x - 1$ .

$e^{- 2 \ln (| 3 x - 1 |) + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{- 2 \ln (3 x - 1)}$

Schritt 2.4

Verwende die Potenzregel des Logarithmus.

$e^{\ln ({(3 x - 1)}^{- 2})}$

Schritt 2.5

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

${(3 x - 1)}^{- 2}$

Schritt 2.6

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} (\frac{- 6}{3 x - 1} y) = \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} (- 10 {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}})$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}}$ und $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(3 x - 1)}^{2}} + \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} (\frac{- 6}{3 x - 1} y) = \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} (- 10 {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}})$

Schritt 3.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(3 x - 1)}^{2}} + \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} (- \frac{6}{3 x - 1} y) = \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} (- 10 {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}})$

Schritt 3.2.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(3 x - 1)}^{2}} - \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} (\frac{6}{3 x - 1} y) = \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} (- 10 {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}})$

Schritt 3.2.4

Kombiniere $\frac{6}{3 x - 1}$ und $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(3 x - 1)}^{2}} - \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} \cdot \frac{6 y}{3 x - 1} = \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} (- 10 {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}})$

Schritt 3.2.5

Multipliziere $- \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} \cdot \frac{6 y}{3 x - 1}$ .

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Schritt 3.2.5.1

Mutltipliziere $\frac{6 y}{3 x - 1}$ mit $\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(3 x - 1)}^{2}} - \frac{6 y}{(3 x - 1) {(3 x - 1)}^{2}} = \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} (- 10 {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}})$

Schritt 3.2.5.2

Multipliziere $3 x - 1$ mit ${(3 x - 1)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.5.2.1

Mutltipliziere $3 x - 1$ mit ${(3 x - 1)}^{2}$ .

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Schritt 3.2.5.2.1.1

Potenziere $3 x - 1$ mit $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(3 x - 1)}^{2}} - \frac{6 y}{{(3 x - 1)}^{1} {(3 x - 1)}^{2}} = \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} (- 10 {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}})$

Schritt 3.2.5.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(3 x - 1)}^{2}} - \frac{6 y}{{(3 x - 1)}^{1 + 2}} = \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} (- 10 {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}})$

Schritt 3.2.5.2.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(3 x - 1)}^{2}} - \frac{6 y}{{(3 x - 1)}^{3}} = \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} (- 10 {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}})$

Schritt 3.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(3 x - 1)}^{2}} - \frac{6 y}{{(3 x - 1)}^{3}} = - 10 \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$

Schritt 3.4

Kombiniere $- 10$ und $\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(3 x - 1)}^{2}} - \frac{6 y}{{(3 x - 1)}^{3}} = \frac{- 10}{{(3 x - 1)}^{2}} {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$

Schritt 3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

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Schritt 3.5.1

Faktorisiere ${(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ aus ${(3 x - 1)}^{2}$ heraus.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(3 x - 1)}^{2}} - \frac{6 y}{{(3 x - 1)}^{3}} = \frac{- 10}{{(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}} {(3 x - 1)}^{\frac{8}{3}}} {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$

Schritt 3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(3 x - 1)}^{2}} - \frac{6 y}{{(3 x - 1)}^{3}} = \frac{- 10}{{(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}} {(3 x - 1)}^{\frac{8}{3}}} {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$

Schritt 3.5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(3 x - 1)}^{2}} - \frac{6 y}{{(3 x - 1)}^{3}} = \frac{- 10}{{(3 x - 1)}^{\frac{8}{3}}}$

Schritt 3.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(3 x - 1)}^{2}} - \frac{6 y}{{(3 x - 1)}^{3}} = - \frac{10}{{(3 x - 1)}^{\frac{8}{3}}}$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y] = - \frac{10}{{(3 x - 1)}^{\frac{8}{3}}}$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y] d x = \int - \frac{10}{{(3 x - 1)}^{\frac{8}{3}}} d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = \int - \frac{10}{{(3 x - 1)}^{\frac{8}{3}}} d x$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - \int \frac{10}{{(3 x - 1)}^{\frac{8}{3}}} d x$

Schritt 7.2

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $10$ aus dem Integral.

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - (10 \int \frac{1}{{(3 x - 1)}^{\frac{8}{3}}} d x)$

Schritt 7.3

Mutltipliziere $10$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - 10 \int \frac{1}{{(3 x - 1)}^{\frac{8}{3}}} d x$

Schritt 7.4

Sei $u = 3 x - 1$ . Dann ist $d u = 3 d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 7.4.1

Es sei $u = 3 x - 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 7.4.1.1

Differenziere $3 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [3 x - 1]$

Schritt 7.4.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 7.4.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Schritt 7.4.1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 7.4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 7.4.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 7.4.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 7.4.1.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 + 0$

Schritt 7.4.1.4.2

Addiere $3$ und $0$ .

$3$

Schritt 7.4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - 10 \int \frac{1}{u^{\frac{8}{3}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Schritt 7.5

Vereinfache.

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Schritt 7.5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u^{\frac{8}{3}}}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - 10 \int \frac{1}{u^{\frac{8}{3}} \cdot 3} d u$

Schritt 7.5.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $u^{\frac{8}{3}}$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - 10 \int \frac{1}{3 u^{\frac{8}{3}}} d u$

Schritt 7.6

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - 10 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{\frac{8}{3}}} d u)$

Schritt 7.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.7.1

Vereinfache.

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Schritt 7.7.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 10$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = \frac{- 10}{3} \int \frac{1}{u^{\frac{8}{3}}} d u$

Schritt 7.7.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - \frac{10}{3} \int \frac{1}{u^{\frac{8}{3}}} d u$

Schritt 7.7.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 7.7.2.1

Bringe $u^{\frac{8}{3}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - \frac{10}{3} \int {(u^{\frac{8}{3}})}^{- 1} d u$

Schritt 7.7.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{8}{3}})}^{- 1}$ .

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Schritt 7.7.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - \frac{10}{3} \int u^{\frac{8}{3} \cdot - 1} d u$

Schritt 7.7.2.2.2

Multipliziere $\frac{8}{3} \cdot - 1$ .

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Schritt 7.7.2.2.2.1

Kombiniere $\frac{8}{3}$ und $- 1$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - \frac{10}{3} \int u^{\frac{8 \cdot - 1}{3}} d u$

Schritt 7.7.2.2.2.2

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - \frac{10}{3} \int u^{\frac{- 8}{3}} d u$

Schritt 7.7.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - \frac{10}{3} \int u^{- \frac{8}{3}} d u$

Schritt 7.8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{8}{3}}$ nach $u$ gleich $- \frac{3}{5} u^{- \frac{5}{3}}$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - \frac{10}{3} (- \frac{3}{5} u^{- \frac{5}{3}} + C)$

Schritt 7.9

Vereinfache.

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Schritt 7.9.1

Schreibe $- \frac{10}{3} (- \frac{3}{5} u^{- \frac{5}{3}} + C)$ als $- \frac{10}{3} (- \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{u^{\frac{5}{3}}}) + C$ um.

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - \frac{10}{3} (- \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{u^{\frac{5}{3}}}) + C$

Schritt 7.9.2

Vereinfache.

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Schritt 7.9.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u^{\frac{5}{3}}}$ mit $\frac{3}{5}$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - \frac{10}{3} (- \frac{3}{u^{\frac{5}{3}} \cdot 5}) + C$

Schritt 7.9.2.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $u^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - \frac{10}{3} (- \frac{3}{5 \cdot u^{\frac{5}{3}}}) + C$

Schritt 7.9.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = 1 (\frac{10}{3}) \frac{3}{5 u^{\frac{5}{3}}} + C$

Schritt 7.9.2.4

Mutltipliziere $\frac{10}{3}$ mit $1$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = \frac{10}{3} \cdot \frac{3}{5 u^{\frac{5}{3}}} + C$

Schritt 7.9.2.5

Mutltipliziere $\frac{10}{3}$ mit $\frac{3}{5 u^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = \frac{10 \cdot 3}{3 (5 u^{\frac{5}{3}})} + C$

Schritt 7.9.2.6

Mutltipliziere $10$ mit $3$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = \frac{30}{3 (5 u^{\frac{5}{3}})} + C$

Schritt 7.9.2.7

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = \frac{30}{15 u^{\frac{5}{3}}} + C$

Schritt 7.9.2.8

Faktorisiere $15$ aus $30$ heraus.

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = \frac{15 \cdot 2}{15 u^{\frac{5}{3}}} + C$

Schritt 7.9.2.9

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.9.2.9.1

Faktorisiere $15$ aus $15 u^{\frac{5}{3}}$ heraus.

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = \frac{15 \cdot 2}{15 (u^{\frac{5}{3}})} + C$

Schritt 7.9.2.9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = \frac{15 \cdot 2}{15 u^{\frac{5}{3}}} + C$

Schritt 7.9.2.9.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = \frac{2}{u^{\frac{5}{3}}} + C$

Schritt 7.10

Ersetze alle $u$ durch $3 x - 1$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = \frac{2}{{(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}} + C$

Schritt 8

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 8.1.1

Subtrahiere $\frac{2}{{(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y - \frac{2}{{(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}} = C$

Schritt 8.1.2

Subtrahiere $C$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y - \frac{2}{{(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}} - C = 0$

Schritt 8.1.3

Kombiniere $\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}}$ und $y$ .

$\frac{y}{{(3 x - 1)}^{2}} - \frac{2}{{(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}} - C = 0$

Schritt 8.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 8.2.1

Addiere $\frac{2}{{(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y}{{(3 x - 1)}^{2}} - C = \frac{2}{{(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 8.2.2

Addiere $C$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y}{{(3 x - 1)}^{2}} = \frac{2}{{(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}} + C$

Schritt 8.3

Multipliziere beide Seiten mit ${(3 x - 1)}^{2}$ .

$\frac{y}{{(3 x - 1)}^{2}} {(3 x - 1)}^{2} = (\frac{2}{{(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}} + C) {(3 x - 1)}^{2}$

Schritt 8.4

Vereinfache.

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Schritt 8.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(3 x - 1)}^{2}$ .

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Schritt 8.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{{(3 x - 1)}^{2}} {(3 x - 1)}^{2} = (\frac{2}{{(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}} + C) {(3 x - 1)}^{2}$

Schritt 8.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = (\frac{2}{{(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}} + C) {(3 x - 1)}^{2}$

Schritt 8.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.4.2.1

Vereinfache $(\frac{2}{{(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}} + C) {(3 x - 1)}^{2}$ .

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Schritt 8.4.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{2}{{(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}} {(3 x - 1)}^{2} + C {(3 x - 1)}^{2}$

Schritt 8.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}$ .

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Schritt 8.4.2.1.2.1

Faktorisiere ${(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}$ aus ${(3 x - 1)}^{2}$ heraus.

$y = \frac{2}{{(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}} ({(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}} {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}) + C {(3 x - 1)}^{2}$

Schritt 8.4.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{2}{{(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}} ({(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}} {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}) + C {(3 x - 1)}^{2}$

Schritt 8.4.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}} + C {(3 x - 1)}^{2}$

Schritt 8.4.2.1.3

Stelle $2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ und $C {(3 x - 1)}^{2}$ um.

$y = C {(3 x - 1)}^{2} + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 8.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.5.1

Schreibe ${(3 x - 1)}^{2}$ als $(3 x - 1) (3 x - 1)$ um.

$y = C ((3 x - 1) (3 x - 1)) + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 8.5.2

Multipliziere $(3 x - 1) (3 x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 8.5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = C (3 x (3 x - 1) - 1 (3 x - 1)) + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 8.5.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = C (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x - 1)) + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 8.5.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = C (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1) + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 8.5.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 8.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.5.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = C (3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1) + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 8.5.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.5.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$y = C (3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1) + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 8.5.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y = C (3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1) + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 8.5.3.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$y = C (9 x^{2} + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1) + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 8.5.3.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$y = C (9 x^{2} - 3 x - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1) + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 8.5.3.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$y = C (9 x^{2} - 3 x - 3 x - 1 \cdot - 1) + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 8.5.3.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = C (9 x^{2} - 3 x - 3 x + 1) + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 8.5.3.2

Subtrahiere $3 x$ von $- 3 x$ .

$y = C (9 x^{2} - 6 x + 1) + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 8.5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$y = C (9 x^{2}) + C (- 6 x) + C \cdot 1 + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 8.5.5

Vereinfache.

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Schritt 8.5.5.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = 9 C x^{2} + C (- 6 x) + C \cdot 1 + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 8.5.5.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = 9 C x^{2} - 6 C x + C \cdot 1 + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 8.5.5.3

Mutltipliziere $C$ mit $1$ .

$y = 9 C x^{2} - 6 C x + C + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$