Analysis Beispiele

$x d x + (y - 2) d y = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $x d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$(y - 2) d y = - x d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int y - 2 d y = \int - x d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int y d y + \int - 2 d y = \int - x d x$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int - 2 d y = \int - x d x$

Schritt 2.2.3

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - 2 y + C_{2} = \int - x d x$

Schritt 2.2.4

Vereinfache.

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = \int - x d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = - \int x d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$

Schritt 2.3.3

Schreibe $- (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$ als $- \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$ um.

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = - \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y = - \frac{1}{2} x^{2} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} - 2 y = - \frac{1}{2} x^{2} + K$

Schritt 3.2

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} - 2 y = - \frac{x^{2}}{2} + K$

Schritt 3.3

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Addiere $\frac{x^{2}}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y^{2}}{2} - 2 y + \frac{x^{2}}{2} = K$

Schritt 3.3.2

Subtrahiere $K$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y^{2}}{2} - 2 y + \frac{x^{2}}{2} - K = 0$

Schritt 3.4

Multipliziere mit dem Hauptnenner $2$ aus und vereinfache dann.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- 2 y) + 2 (\frac{x^{2}}{2}) + 2 (- K) = 0$

Schritt 3.4.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- 2 y) + 2 (\frac{x^{2}}{2}) + 2 (- K) = 0$

Schritt 3.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} + 2 (- 2 y) + 2 (\frac{x^{2}}{2}) + 2 (- K) = 0$

Schritt 3.4.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$y^{2} - 4 y + 2 (\frac{x^{2}}{2}) + 2 (- K) = 0$

Schritt 3.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} - 4 y + 2 (\frac{x^{2}}{2}) + 2 (- K) = 0$

Schritt 3.4.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} - 4 y + x^{2} + 2 (- K) = 0$

Schritt 3.4.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$y^{2} - 4 y + x^{2} - 2 K = 0$

Schritt 3.4.3

Bewege $- 4 y$ .

$y^{2} + x^{2} - 2 K - 4 y = 0$

Schritt 3.4.4

Stelle $y^{2}$ und $x^{2}$ um.

$x^{2} + y^{2} - 2 K - 4 y = 0$

Schritt 3.5

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.6

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 4$ und $c = x^{2} - 2 K$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} - 2 K))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} - 2 K)$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.1.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus ${(- 4)}^{2}$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} - 2 K)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7.1.1.2

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} - 2 K)$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (x^{2} - 2 K))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7.1.1.3

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (x^{2} - 2 K))$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (x^{2} - 2 K))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7.1.2

Mutltipliziere $x^{2} - 2 K$ mit $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + x^{2} - 2 K)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7.1.3

Schreibe $- 4 (- 4 + x^{2} - 2 K)$ als $2^{2} \cdot (- 1 (- 4 + x^{2} - 2 K))$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (- 4 + x^{2} - 2 K)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7.1.3.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 + x^{2} - 2 K))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7.1.3.3

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 + x^{2} - 2 K))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 + x^{2} - 2 K)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 + x^{2} - 2 K)}}{2}$

Schritt 3.7.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 + x^{2} - 2 K)}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (- 4 + x^{2} - 2 K)}$

Schritt 3.8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 + x^{2} - 2 K)}$

$y = 2 - \sqrt{- 1 (- 4 + x^{2} - 2 K)}$

$y = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 + x^{2} - 2 K)}$

$y = 2 - \sqrt{- 1 (- 4 + x^{2} - 2 K)}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 + x^{2} + K)}$

$y = 2 - \sqrt{- 1 (- 4 + x^{2} + K)}$