Analysis Beispiele

$\frac{d F}{d x} = 3 e^{x} + 2 x$ , $F (0) = 18$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d F = (3 e^{x} + 2 x) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d F = \int 3 e^{x} + 2 x d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$F + C_{1} = \int 3 e^{x} + 2 x d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$F + C_{1} = \int 3 e^{x} d x + \int 2 x d x$

Schritt 2.3.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$F + C_{1} = 3 \int e^{x} d x + \int 2 x d x$

Schritt 2.3.3

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$F + C_{1} = 3 (e^{x} + C_{2}) + \int 2 x d x$

Schritt 2.3.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$F + C_{1} = 3 (e^{x} + C_{2}) + 2 \int x d x$

Schritt 2.3.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$F + C_{1} = 3 (e^{x} + C_{2}) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Schritt 2.3.6

Vereinfache.

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Schritt 2.3.6.1

Vereinfache.

$F + C_{1} = 3 e^{x} + 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.6.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$F + C_{1} = 3 e^{x} + \frac{2}{2} x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$F + C_{1} = 3 e^{x} + \frac{2}{2} x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$F + C_{1} = 3 e^{x} + 1 x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$F + C_{1} = 3 e^{x} + x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.7

Stelle die Terme um.

$F + C_{1} = x^{2} + 3 e^{x} + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$F = x^{2} + 3 e^{x} + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $0$ für $x$ und $18$ für $F$ in $F = x^{2} + 3 e^{x} + K$ ersetzt wird.

$18 = 0^{2} + 3 e^{0} + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $0^{2} + 3 e^{0} + K = 18$ um.

$0^{2} + 3 e^{0} + K = 18$

Schritt 4.2

Vereinfache $0^{2} + 3 e^{0} + K$ .

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 + 3 e^{0} + K = 18$

Schritt 4.2.1.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$0 + 3 \cdot 1 + K = 18$

Schritt 4.2.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$0 + 3 + K = 18$

Schritt 4.2.2

Addiere $0$ und $3$ .

$3 + K = 18$

Schritt 4.3

Bringe alle Terme, die nicht $K$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$K = 18 - 3$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere $3$ von $18$ .

$K = 15$

Schritt 5

Setze $15$ für $K$ in $F = x^{2} + 3 e^{x} + K$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $15$ .

$F = x^{2} + 3 e^{x} + 15$