Analysis Beispiele

$y d x + (x - x y + 2) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = y$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = x - x y + 2$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x - x y + 2]$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - x y + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x y$ nach $x$ gleich $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 - y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 - y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 - y + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 - y + 0$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Addiere $1 - y$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 - y$

Schritt 2.5.2

Stelle die Terme um.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y + 1$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $1$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $- y + 1$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$1 = - y + 1$

Schritt 3.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$1 = - y + 1$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $- y + 1$ .

$\frac{- y + 1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Schritt 4.2

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $1$ .

$\frac{- y + 1 - 1}{M}$

Schritt 4.3

Ersetze $M$ durch $y$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $M$ durch $y$ .

$\frac{- y + 1 - 1}{y}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.2.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{- y + 0}{y}$

Schritt 4.3.2.2

Addiere $- y$ und $0$ .

$\frac{- y}{y}$

Schritt 4.3.3

Ersetze $M$ durch $y$ .

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Schritt 4.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- y}{y}$

Schritt 4.3.3.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- 1$

Schritt 4.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - 1 d y}$

Schritt 5

Berechne das Integral $e^{\int - 1 d y}$ .

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Schritt 5.1

Wende die Konstantenregel an.

$μ (x, y) = e^{- y + C}$

Schritt 5.2

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{- y} + C$

Schritt 6

Multipliziere beide Seiten von $y d x + (x - x y + 2) d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $e^{- y}$ .

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $y$ mit $e^{- y}$ .

$y e^{- y} d x + (x - x y + 2) d y = 0$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $x - x y + 2$ mit $e^{- y}$ .

$y e^{- y} d x + (x - x y + 2) e^{- y} d y = 0$

Schritt 6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y e^{- y} d x + (x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}) d y = 0$

Schritt 7

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y e^{- y} d x$

Schritt 8

Integriere $M (x, y) = y e^{- y}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 8.1

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = y e^{- y} x + C$

Schritt 9

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = y e^{- y} x + g (y)$

Schritt 10

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Schritt 11

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Schritt 11.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [y e^{- y} x + g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Schritt 11.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y e^{- y} x + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y e^{- y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y e^{- y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Schritt 11.3

Berechne $\frac{d}{d y} [y e^{- y} x]$ .

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Schritt 11.3.1

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $y e^{- y} x$ nach $y$ gleich $x \frac{d}{d y} [y e^{- y}]$ .

$x \frac{d}{d y} [y e^{- y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Schritt 11.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = y$ und $g (y) = e^{- y}$ .

$x (y \frac{d}{d y} [e^{- y}] + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Schritt 11.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = e^{y}$ und $g (y) = - y$ .

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Schritt 11.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- y$ .

$x (y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [- y]) + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Schritt 11.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$x (y (e^{u} \frac{d}{d y} [- y]) + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Schritt 11.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $- y$ .

$x (y (e^{- y} \frac{d}{d y} [- y]) + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Schritt 11.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$x (y (e^{- y} (- \frac{d}{d y} [y])) + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Schritt 11.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (y (e^{- y} (- 1 \cdot 1)) + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Schritt 11.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (y (e^{- y} (- 1 \cdot 1)) + e^{- y} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Schritt 11.3.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$x (y (e^{- y} \cdot - 1) + e^{- y} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Schritt 11.3.8

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- y}$ .

$x (y (- 1 \cdot e^{- y}) + e^{- y} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Schritt 11.3.9

Schreibe $- 1 e^{- y}$ als $- e^{- y}$ um.

$x (y (- e^{- y}) + e^{- y} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Schritt 11.3.10

Mutltipliziere $e^{- y}$ mit $1$ .

$x (y (- e^{- y}) + e^{- y}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Schritt 11.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$x (y (- e^{- y}) + e^{- y}) + \frac{d g}{d y} = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Schritt 11.5

Vereinfache.

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Schritt 11.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (y (- e^{- y})) + x e^{- y} + \frac{d g}{d y} = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Schritt 11.5.2

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d y} - e^{- y} x y + e^{- y} x = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Schritt 11.5.3

Stelle die Faktoren in $\frac{d g}{d y} - e^{- y} x y + e^{- y} x$ um.

$\frac{d g}{d y} - x y e^{- y} + x e^{- y} = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Schritt 12

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 12.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d y}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 12.1.1

Addiere $x y e^{- y}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} + x e^{- y} = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y} + x y e^{- y}$

Schritt 12.1.2

Subtrahiere $x e^{- y}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y} + x y e^{- y} - x e^{- y}$

Schritt 12.1.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y} + x y e^{- y} - x e^{- y}$ .

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Schritt 12.1.3.1

Addiere $- x y e^{- y}$ und $x y e^{- y}$ .

$\frac{d g}{d y} = x e^{- y} + 2 e^{- y} + 0 - x e^{- y}$

Schritt 12.1.3.2

Addiere $x e^{- y} + 2 e^{- y}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} = x e^{- y} + 2 e^{- y} - x e^{- y}$

Schritt 12.1.3.3

Subtrahiere $x e^{- y}$ von $x e^{- y}$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 e^{- y} + 0$

Schritt 12.1.3.4

Addiere $2 e^{- y}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 e^{- y}$

Schritt 13

Bestimme die Stammfunktion von $2 e^{- y}$ , um $g (y)$ zu finden.

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Schritt 13.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = 2 e^{- y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 2 e^{- y} d y$

Schritt 13.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 2 e^{- y} d y$

Schritt 13.3

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$g (y) = 2 \int e^{- y} d y$

Schritt 13.4

Sei $u = - y$ . Dann ist $d u = - d y$ , folglich $- d u = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 13.4.1

Es sei $u = - y$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 13.4.1.1

Differenziere $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Schritt 13.4.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 13.4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 13.4.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 13.4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$g (y) = 2 \int - e^{u} d u$

Schritt 13.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$g (y) = 2 (- \int e^{u} d u)$

Schritt 13.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$g (y) = - 2 \int e^{u} d u$

Schritt 13.7

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$g (y) = - 2 (e^{u} + C)$

Schritt 13.8

Vereinfache.

$g (y) = - 2 e^{u} + C$

Schritt 13.9

Ersetze alle $u$ durch $- y$ .

$g (y) = - 2 e^{- y} + C$

Schritt 14

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = y e^{- y} x + g (y)$ ein.

$f (x, y) = y e^{- y} x - 2 e^{- y} + C$

Schritt 15

Stelle die Faktoren in $f (x, y) = y e^{- y} x - 2 e^{- y} + C$ um.

$f (x, y) = y x e^{- y} - 2 e^{- y} + C$