Analysis Beispiele

$z + u (\frac{d z}{d u}) = \frac{z}{1 - z}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Löse nach $\frac{d z}{d u}$ auf.

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Schritt 1.1.1

Subtrahiere $z$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u \frac{d z}{d u} = \frac{z}{1 - z} - z$

Schritt 1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $u \frac{d z}{d u} = \frac{z}{1 - z} - z$ durch $u$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $u \frac{d z}{d u} = \frac{z}{1 - z} - z$ durch $u$ .

$\frac{u \frac{d z}{d u}}{u} = \frac{\frac{z}{1 - z}}{u} + \frac{- z}{u}$

Schritt 1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $u$ .

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Schritt 1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{u \frac{d z}{d u}}{u} = \frac{\frac{z}{1 - z}}{u} + \frac{- z}{u}$

Schritt 1.1.2.2.1.2

Dividiere $\frac{d z}{d u}$ durch $1$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z}{1 - z}}{u} + \frac{- z}{u}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.2.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z}{1 - z} - z}{u}$

Schritt 1.1.2.3.2

Um $- z$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 - z}{1 - z}$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z}{1 - z} - z \cdot \frac{1 - z}{1 - z}}{u}$

Schritt 1.1.2.3.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.1.2.3.3.1

Kombiniere $- z$ und $\frac{1 - z}{1 - z}$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z}{1 - z} + \frac{- z (1 - z)}{1 - z}}{u}$

Schritt 1.1.2.3.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z - z (1 - z)}{1 - z}}{u}$

Schritt 1.1.2.3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.2.3.4.1

Faktorisiere $z$ aus $z - z (1 - z)$ heraus.

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Schritt 1.1.2.3.4.1.1

Potenziere $z$ mit $1$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z^{1} - z (1 - z)}{1 - z}}{u}$

Schritt 1.1.2.3.4.1.2

Faktorisiere $z$ aus $z^{1}$ heraus.

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z \cdot 1 - z (1 - z)}{1 - z}}{u}$

Schritt 1.1.2.3.4.1.3

Faktorisiere $z$ aus $- z (1 - z)$ heraus.

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z \cdot 1 + z (- (1 - z))}{1 - z}}{u}$

Schritt 1.1.2.3.4.1.4

Faktorisiere $z$ aus $z \cdot 1 + z (- (1 - z))$ heraus.

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z (1 - (1 - z))}{1 - z}}{u}$

Schritt 1.1.2.3.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z (1 - 1 \cdot 1 - - z)}{1 - z}}{u}$

Schritt 1.1.2.3.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z (1 - 1 - - z)}{1 - z}}{u}$

Schritt 1.1.2.3.4.4

Multipliziere $- - z$ .

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Schritt 1.1.2.3.4.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z (1 - 1 + 1 z)}{1 - z}}{u}$

Schritt 1.1.2.3.4.4.2

Mutltipliziere $z$ mit $1$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z (1 - 1 + z)}{1 - z}}{u}$

Schritt 1.1.2.3.4.5

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z (0 + z)}{1 - z}}{u}$

Schritt 1.1.2.3.4.6

Addiere $0$ und $z$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z \cdot z}{1 - z}}{u}$

Schritt 1.1.2.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.2.3.5.1

Potenziere $z$ mit $1$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z^{1} z}{1 - z}}{u}$

Schritt 1.1.2.3.5.2

Potenziere $z$ mit $1$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z^{1} z^{1}}{1 - z}}{u}$

Schritt 1.1.2.3.5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z^{1 + 1}}{1 - z}}{u}$

Schritt 1.1.2.3.5.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z^{2}}{1 - z}}{u}$

Schritt 1.1.2.3.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{d z}{d u} = \frac{z^{2}}{1 - z} \cdot \frac{1}{u}$

Schritt 1.1.2.3.7

Mutltipliziere $\frac{z^{2}}{1 - z}$ mit $\frac{1}{u}$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{z^{2}}{(1 - z) u}$

Schritt 1.1.2.3.8

Stelle die Faktoren in $\frac{z^{2}}{(1 - z) u}$ um.

$\frac{d z}{d u} = \frac{z^{2}}{u (1 - z)}$

Schritt 1.2

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d z}{d u} = \frac{z^{2}}{1 - z} \cdot \frac{1}{u}$

Schritt 1.3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1 - z}{z^{2}}$ .

$\frac{1 - z}{z^{2}} \frac{d z}{d u} = \frac{1 - z}{z^{2}} (\frac{z^{2}}{1 - z} \cdot \frac{1}{u})$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Mutltipliziere $\frac{z^{2}}{1 - z}$ mit $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1 - z}{z^{2}} \frac{d z}{d u} = \frac{1 - z}{z^{2}} \cdot \frac{z^{2}}{(1 - z) u}$

Schritt 1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - z$ .

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Schritt 1.4.2.1

Faktorisiere $1 - z$ aus $(1 - z) u$ heraus.

$\frac{1 - z}{z^{2}} \frac{d z}{d u} = \frac{1 - z}{z^{2}} \cdot \frac{z^{2}}{(1 - z) (u)}$

Schritt 1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 - z}{z^{2}} \frac{d z}{d u} = \frac{1 - z}{z^{2}} \cdot \frac{z^{2}}{(1 - z) u}$

Schritt 1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 - z}{z^{2}} \frac{d z}{d u} = \frac{1}{z^{2}} \cdot \frac{z^{2}}{u}$

Schritt 1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $z^{2}$ .

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Schritt 1.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 - z}{z^{2}} \frac{d z}{d u} = \frac{1}{z^{2}} \cdot \frac{z^{2}}{u}$

Schritt 1.4.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 - z}{z^{2}} \frac{d z}{d u} = \frac{1}{u}$

Schritt 1.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1 - z}{z^{2}} d z = \frac{1}{u} d u$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1 - z}{z^{2}} d z = \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.2.1.1

Bringe $z^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int (1 - z) {(z^{2})}^{- 1} d z = \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 2.2.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(z^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (1 - z) z^{2 \cdot - 1} d z = \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 2.2.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int (1 - z) z^{- 2} d z = \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 2.2.2

Multipliziere $(1 - z) z^{- 2}$ .

$\int 1 z^{- 2} - z \cdot z^{- 2} d z = \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 2.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.2.3.1

Mutltipliziere $z^{- 2}$ mit $1$ .

$\int z^{- 2} - z \cdot z^{- 2} d z = \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 2.2.3.2

Multipliziere $z$ mit $z^{- 2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.3.2.1

Bewege $z^{- 2}$ .

$\int z^{- 2} - (z^{- 2} z) d z = \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 2.2.3.2.2

Mutltipliziere $z^{- 2}$ mit $z$ .

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Schritt 2.2.3.2.2.1

Potenziere $z$ mit $1$ .

$\int z^{- 2} - (z^{- 2} z^{1}) d z = \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 2.2.3.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int z^{- 2} - z^{- 2 + 1} d z = \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 2.2.3.2.3

Addiere $- 2$ und $1$ .

$\int z^{- 2} - z^{- 1} d z = \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 2.2.4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int z^{- 2} d z + \int - z^{- 1} d z = \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 2.2.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $z^{- 2}$ nach $z$ gleich $- z^{- 1}$ .

$- z^{- 1} + C_{1} + \int - z^{- 1} d z = \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 2.2.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $z$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- z^{- 1} + C_{1} - \int z^{- 1} d z = \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 2.2.7

Das Integral von $z^{- 1}$ nach $z$ ist $\ln (| z |)$ .

$- z^{- 1} + C_{1} - (\ln (| z |) + C_{2}) = \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 2.2.8

Vereinfache.

$- \frac{1}{z} - \ln (| z |) + C_{3} = \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 2.3

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{z} - \ln (| z |) + C_{3} = \ln (| u |) + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$- \frac{1}{z} - \ln (| z |) = \ln (| u |) + C$