Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 - x^{2}}{2 y^{3}}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $y^{3}$ .

$y^{3} \frac{d y}{d x} = y^{3} \frac{6 - x^{2}}{2 y^{3}}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{3}$ .

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $y^{3}$ aus $2 y^{3}$ heraus.

$y^{3} \frac{d y}{d x} = y^{3} \frac{6 - x^{2}}{y^{3} \cdot 2}$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{3} \frac{d y}{d x} = y^{3} \frac{6 - x^{2}}{y^{3} \cdot 2}$

Schritt 1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y^{3} \frac{d y}{d x} = \frac{6 - x^{2}}{2}$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$y^{3} d y = \frac{6 - x^{2}}{2} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int y^{3} d y = \int \frac{6 - x^{2}}{2} d x$

Schritt 2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{3}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \int \frac{6 - x^{2}}{2} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \frac{1}{2} \int 6 - x^{2} d x$

Schritt 2.3.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \frac{1}{2} (\int 6 d x + \int - x^{2} d x)$

Schritt 2.3.3

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \frac{1}{2} (6 x + C_{2} + \int - x^{2} d x)$

Schritt 2.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \frac{1}{2} (6 x + C_{2} - \int x^{2} d x)$

Schritt 2.3.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \frac{1}{2} (6 x + C_{2} - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}))$

Schritt 2.3.6

Vereinfache.

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \frac{1}{2} (6 x - \frac{1}{3} x^{3}) + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{4} y^{4} = \frac{1}{2} (6 x - \frac{1}{3} x^{3}) + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $4$ .

$4 (\frac{1}{4} y^{4}) = 4 (\frac{1}{2} (6 x - \frac{1}{3} x^{3}) + K)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $4 (\frac{1}{4} y^{4})$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $y^{4}$ .

$4 \frac{y^{4}}{4} = 4 (\frac{1}{2} (6 x - \frac{1}{3} x^{3}) + K)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \frac{y^{4}}{4} = 4 (\frac{1}{2} (6 x - \frac{1}{3} x^{3}) + K)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{4} = 4 (\frac{1}{2} (6 x - \frac{1}{3} x^{3}) + K)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $4 (\frac{1}{2} (6 x - \frac{1}{3} x^{3}) + K)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.1.1.1

Kombiniere $x^{3}$ und $\frac{1}{3}$ .

$y^{4} = 4 (\frac{1}{2} (6 x - \frac{x^{3}}{3}) + K)$

Schritt 3.2.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{4} = 4 (\frac{1}{2} (6 x) + \frac{1}{2} (- \frac{x^{3}}{3}) + K)$

Schritt 3.2.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.1.1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $6 x$ heraus.

$y^{4} = 4 (\frac{1}{2} (2 (3 x)) + \frac{1}{2} (- \frac{x^{3}}{3}) + K)$

Schritt 3.2.2.1.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{4} = 4 (\frac{1}{2} (2 (3 x)) + \frac{1}{2} (- \frac{x^{3}}{3}) + K)$

Schritt 3.2.2.1.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$y^{4} = 4 (3 x + \frac{1}{2} (- \frac{x^{3}}{3}) + K)$

Schritt 3.2.2.1.1.4

Multipliziere $\frac{1}{2} (- \frac{x^{3}}{3})$ .

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Schritt 3.2.2.1.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{x^{3}}{3}$ .

$y^{4} = 4 (3 x - \frac{x^{3}}{2 \cdot 3} + K)$

Schritt 3.2.2.1.1.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$y^{4} = 4 (3 x - \frac{x^{3}}{6} + K)$

Schritt 3.2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{4} = 4 (3 x) + 4 (- \frac{x^{3}}{6}) + 4 K$

Schritt 3.2.2.1.3

Vereinfache.

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Schritt 3.2.2.1.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$y^{4} = 12 x + 4 (- \frac{x^{3}}{6}) + 4 K$

Schritt 3.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.1.3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x^{3}}{6}$ in den Zähler.

$y^{4} = 12 x + 4 \frac{- x^{3}}{6} + 4 K$

Schritt 3.2.2.1.3.2.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$y^{4} = 12 x + 2 (2) \frac{- x^{3}}{6} + 4 K$

Schritt 3.2.2.1.3.2.3

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$y^{4} = 12 x + 2 \cdot 2 \frac{- x^{3}}{2 \cdot 3} + 4 K$

Schritt 3.2.2.1.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{4} = 12 x + 2 \cdot 2 \frac{- x^{3}}{2 \cdot 3} + 4 K$

Schritt 3.2.2.1.3.2.5

Forme den Ausdruck um.

$y^{4} = 12 x + 2 \frac{- x^{3}}{3} + 4 K$

Schritt 3.2.2.1.3.3

Kombiniere $2$ und $\frac{- x^{3}}{3}$ .

$y^{4} = 12 x + \frac{2 (- x^{3})}{3} + 4 K$

Schritt 3.2.2.1.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$y^{4} = 12 x + \frac{- 2 x^{3}}{3} + 4 K$

Schritt 3.2.2.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y^{4} = 12 x - \frac{2 x^{3}}{3} + 4 K$

Schritt 3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt[4]{12 x - \frac{2 x^{3}}{3} + 4 K}$

Schritt 3.4

Vereinfache $\pm \sqrt[4]{12 x - \frac{2 x^{3}}{3} + 4 K}$ .

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $12 x - \frac{2 x^{3}}{3} + 4 K$ heraus.

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Schritt 3.4.1.1

Faktorisiere $2$ aus $12 x$ heraus.

$y = \pm \sqrt[4]{2 (6 x) - \frac{2 x^{3}}{3} + 4 K}$

Schritt 3.4.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- \frac{2 x^{3}}{3}$ heraus.

$y = \pm \sqrt[4]{2 (6 x) + 2 (- \frac{x^{3}}{3}) + 4 K}$

Schritt 3.4.1.3

Faktorisiere $2$ aus $4 K$ heraus.

$y = \pm \sqrt[4]{2 (6 x) + 2 (- \frac{x^{3}}{3}) + 2 (2 K)}$

Schritt 3.4.1.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (6 x) + 2 (- \frac{x^{3}}{3})$ heraus.

$y = \pm \sqrt[4]{2 (6 x - \frac{x^{3}}{3}) + 2 (2 K)}$

Schritt 3.4.1.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (6 x - \frac{x^{3}}{3}) + 2 (2 K)$ heraus.

$y = \pm \sqrt[4]{2 (6 x - \frac{x^{3}}{3} + 2 K)}$

Schritt 3.4.2

Um $6 x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt[4]{2 (6 x \cdot \frac{3}{3} - \frac{x^{3}}{3} + 2 K)}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.4.3.1

Kombiniere $6 x$ und $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt[4]{2 (\frac{6 x \cdot 3}{3} - \frac{x^{3}}{3} + 2 K)}$

Schritt 3.4.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \pm \sqrt[4]{2 (\frac{6 x \cdot 3 - x^{3}}{3} + 2 K)}$

Schritt 3.4.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.4.1

Faktorisiere $x$ aus $6 x \cdot 3 - x^{3}$ heraus.

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Schritt 3.4.4.1.1

Faktorisiere $x$ aus $6 x \cdot 3$ heraus.

$y = \pm \sqrt[4]{2 (\frac{x (6 \cdot 3) - x^{3}}{3} + 2 K)}$

Schritt 3.4.4.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- x^{3}$ heraus.

$y = \pm \sqrt[4]{2 (\frac{x (6 \cdot 3) + x (- x^{2})}{3} + 2 K)}$

Schritt 3.4.4.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x (6 \cdot 3) + x (- x^{2})$ heraus.

$y = \pm \sqrt[4]{2 (\frac{x (6 \cdot 3 - x^{2})}{3} + 2 K)}$

Schritt 3.4.4.2

Mutltipliziere $6$ mit $3$ .

$y = \pm \sqrt[4]{2 (\frac{x (18 - x^{2})}{3} + 2 K)}$

Schritt 3.4.5

Um $2 K$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt[4]{2 (\frac{x (18 - x^{2})}{3} + 2 K \cdot \frac{3}{3})}$

Schritt 3.4.6

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.4.6.1

Kombiniere $2 K$ und $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt[4]{2 (\frac{x (18 - x^{2})}{3} + \frac{2 K \cdot 3}{3})}$

Schritt 3.4.6.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \pm \sqrt[4]{2 \frac{x (18 - x^{2}) + 2 K \cdot 3}{3}}$

Schritt 3.4.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \pm \sqrt[4]{2 \frac{x \cdot 18 + x (- x^{2}) + 2 K \cdot 3}{3}}$

Schritt 3.4.7.2

Bringe $18$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = \pm \sqrt[4]{2 \frac{18 \cdot x + x (- x^{2}) + 2 K \cdot 3}{3}}$

Schritt 3.4.7.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = \pm \sqrt[4]{2 \frac{18 \cdot x - x \cdot x^{2} + 2 K \cdot 3}{3}}$

Schritt 3.4.7.4

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.7.4.1

Bewege $x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt[4]{2 \frac{18 x - (x^{2} x) + 2 K \cdot 3}{3}}$

Schritt 3.4.7.4.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 3.4.7.4.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y = \pm \sqrt[4]{2 \frac{18 x - (x^{2} x^{1}) + 2 K \cdot 3}{3}}$

Schritt 3.4.7.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \pm \sqrt[4]{2 \frac{18 x - x^{2 + 1} + 2 K \cdot 3}{3}}$

Schritt 3.4.7.4.3

Addiere $2$ und $1$ .

$y = \pm \sqrt[4]{2 \frac{18 x - x^{3} + 2 K \cdot 3}{3}}$

Schritt 3.4.7.5

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$y = \pm \sqrt[4]{2 \frac{18 x - x^{3} + 6 K}{3}}$

Schritt 3.4.8

Kombiniere $2$ und $\frac{18 x - x^{3} + 6 K}{3}$ .

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{2 (18 x - x^{3} + 6 K)}{3}}$

Schritt 3.4.9

Schreibe $\sqrt[4]{\frac{2 (18 x - x^{3} + 6 K)}{3}}$ als $\frac{\sqrt[4]{2 (18 x - x^{3} + 6 K)}}{\sqrt[4]{3}}$ um.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{2 (18 x - x^{3} + 6 K)}}{\sqrt[4]{3}}$

Schritt 3.4.10

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[4]{2 (18 x - x^{3} + 6 K)}}{\sqrt[4]{3}}$ mit $\frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{2 (18 x - x^{3} + 6 K)}}{\sqrt[4]{3}} \cdot \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$

Schritt 3.4.11

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.4.11.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[4]{2 (18 x - x^{3} + 6 K)}}{\sqrt[4]{3}}$ mit $\frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{2 (18 x - x^{3} + 6 K)} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{\sqrt[4]{3} {\sqrt[4]{3}}^{3}}$

Schritt 3.4.11.2

Potenziere $\sqrt[4]{3}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{2 (18 x - x^{3} + 6 K)} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{1} {\sqrt[4]{3}}^{3}}$

Schritt 3.4.11.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{2 (18 x - x^{3} + 6 K)} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{1 + 3}}$

Schritt 3.4.11.4

Addiere $1$ und $3$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{2 (18 x - x^{3} + 6 K)} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{4}}$

Schritt 3.4.11.5

Schreibe ${\sqrt[4]{3}}^{4}$ als $3$ um.

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Schritt 3.4.11.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{3}$ als $3^{\frac{1}{4}}$ neu zu schreiben.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{2 (18 x - x^{3} + 6 K)} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{{(3^{\frac{1}{4}})}^{4}}$

Schritt 3.4.11.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{2 (18 x - x^{3} + 6 K)} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{1}{4} \cdot 4}}$

Schritt 3.4.11.5.3

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $4$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{2 (18 x - x^{3} + 6 K)} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{4}{4}}}$

Schritt 3.4.11.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.4.11.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{2 (18 x - x^{3} + 6 K)} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{4}{4}}}$

Schritt 3.4.11.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{2 (18 x - x^{3} + 6 K)} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{1}}$

Schritt 3.4.11.5.5

Berechne den Exponenten.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{2 (18 x - x^{3} + 6 K)} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{3}$

Schritt 3.4.12

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.12.1

Schreibe ${\sqrt[4]{3}}^{3}$ als $\sqrt[4]{3^{3}}$ um.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{2 (18 x - x^{3} + 6 K)} \sqrt[4]{3^{3}}}{3}$

Schritt 3.4.12.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{2 (18 x - x^{3} + 6 K)} \sqrt[4]{27}}{3}$

Schritt 3.4.13

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.13.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{2 (18 x - x^{3} + 6 K) \cdot 27}}{3}$

Schritt 3.4.13.2

Mutltipliziere $27$ mit $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{54 (18 x - x^{3} + 6 K)}}{3}$

Schritt 3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \frac{\sqrt[4]{54 (18 x - x^{3} + 6 K)}}{3}$

Schritt 3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \frac{\sqrt[4]{54 (18 x - x^{3} + 6 K)}}{3}$

Schritt 3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{\sqrt[4]{54 (18 x - x^{3} + 6 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt[4]{54 (18 x - x^{3} + 6 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt[4]{54 (18 x - x^{3} + 6 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt[4]{54 (18 x - x^{3} + 6 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt[4]{54 (18 x - x^{3} + 6 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt[4]{54 (18 x - x^{3} + 6 K)}}{3}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{\sqrt[4]{54 (18 x - x^{3} + K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt[4]{54 (18 x - x^{3} + K)}}{3}$