Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 20 x^{3} + 77 y^{3}}{77 x y^{2}}$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als eine Funktion von $\frac{y}{x}$ um.

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Schritt 1.1

Spalte $\frac{- 20 x^{3} + 77 y^{3}}{77 x y^{2}}$ auf und vereinfache.

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Schritt 1.1.1

Zerlege den Bruch $\frac{- 20 x^{3} + 77 y^{3}}{77 x y^{2}}$ in zwei Brüche.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 20 x^{3}}{77 x y^{2}} + \frac{77 y^{3}}{77 x y^{2}}$

Schritt 1.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{3}$ und $x$ .

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Schritt 1.1.2.1.1

Faktorisiere $x$ aus $- 20 x^{3}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- 20 x^{2})}{77 x y^{2}} + \frac{77 y^{3}}{77 x y^{2}}$

Schritt 1.1.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $77 x y^{2}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- 20 x^{2})}{x (77 y^{2})} + \frac{77 y^{3}}{77 x y^{2}}$

Schritt 1.1.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- 20 x^{2})}{x (77 y^{2})} + \frac{77 y^{3}}{77 x y^{2}}$

Schritt 1.1.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 20 x^{2}}{77 y^{2}} + \frac{77 y^{3}}{77 x y^{2}}$

Schritt 1.1.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{20 x^{2}}{77 y^{2}} + \frac{77 y^{3}}{77 x y^{2}}$

Schritt 1.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $77$ .

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Schritt 1.1.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{20 x^{2}}{77 y^{2}} + \frac{77 y^{3}}{77 x y^{2}}$

Schritt 1.1.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{20 x^{2}}{77 y^{2}} + \frac{y^{3}}{x y^{2}}$

Schritt 1.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{3}$ und $y^{2}$ .

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Schritt 1.1.2.4.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $y^{3}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{20 x^{2}}{77 y^{2}} + \frac{y^{2} y}{x y^{2}}$

Schritt 1.1.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.4.2.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $x y^{2}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{20 x^{2}}{77 y^{2}} + \frac{y^{2} y}{y^{2} x}$

Schritt 1.1.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{20 x^{2}}{77 y^{2}} + \frac{y^{2} y}{y^{2} x}$

Schritt 1.1.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{20 x^{2}}{77 y^{2}} + \frac{y}{x}$

Schritt 1.2

Schreibe die Differentialgleichung als $f (\frac{y}{x})$ um.

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Schritt 1.2.1

Klammere $\frac{x}{y}$ von $\frac{20 x^{2}}{77 y^{2}}$ aus.

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Schritt 1.2.1.1

Faktorisiere $\frac{x}{y}$ aus $\frac{20 x^{2}}{77 y^{2}}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{x}{y} \cdot \frac{20 x}{77 y}) + \frac{y}{x}$

Schritt 1.2.1.2

Stelle $\frac{x}{y}$ und $\frac{20 x}{77 y}$ um.

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{20 x}{77 y} \cdot \frac{x}{y}) + \frac{y}{x}$

Schritt 1.2.2

Schreibe $\frac{x}{y}$ als ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ um.

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{20 x}{77 y} {(\frac{y}{x})}^{- 1}) + \frac{y}{x}$

Schritt 1.3

Schreibe die Differentialgleichung als $f (\frac{y}{x})$ um.

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Schritt 1.3.1

Klammere $\frac{x}{y}$ von $\frac{20 x}{77 y}$ aus.

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Schritt 1.3.1.1

Faktorisiere $\frac{x}{y}$ aus $\frac{20 x}{77 y}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{x}{y} \cdot \frac{20}{77} {(\frac{y}{x})}^{- 1}) + \frac{y}{x}$

Schritt 1.3.1.2

Stelle $\frac{x}{y}$ und $\frac{20}{77}$ um.

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{20}{77} \cdot \frac{x}{y} {(\frac{y}{x})}^{- 1}) + \frac{y}{x}$

Schritt 1.3.2

Schreibe $\frac{x}{y}$ als ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ um.

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{20}{77} {(\frac{y}{x})}^{- 1} {(\frac{y}{x})}^{- 1}) + \frac{y}{x}$

Schritt 2

Es gilt $V = \frac{y}{x}$ . Ersetze $V$ für $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{20}{77} V^{- 1} V^{- 1}) + V$

Schritt 3

Löse $V = \frac{y}{x}$ nach $y$ auf.

$y = V x$

Schritt 4

Verwende die Produktregel um die Ableitung von $y = V x$ nach $x$ zu finden.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Schritt 5

Ersetze $\frac{d y}{d x}$ durch $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = - (\frac{20}{77} V^{- 1} V^{- 1}) + V$

Schritt 6

Löse die substituierte Differentialgleichung.

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Schritt 6.1

Separiere die Variablen.

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Schritt 6.1.1

Löse nach $\frac{d V}{d x}$ auf.

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Schritt 6.1.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1.1.1

Multipliziere $V^{- 1}$ mit $V^{- 1}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1.1.1.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x \frac{d V}{d x} + V = - (\frac{20}{77} \cdot V^{- 1 - 1}) + V$

Schritt 6.1.1.1.1.2

Subtrahiere $1$ von $- 1$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = - (\frac{20}{77} \cdot V^{- 2}) + V$

Schritt 6.1.1.1.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = - (\frac{20}{77} \cdot \frac{1}{V^{2}}) + V$

Schritt 6.1.1.1.3

Kombinieren.

$x \frac{d V}{d x} + V = - \frac{20 \cdot 1}{77 V^{2}} + V$

Schritt 6.1.1.1.4

Mutltipliziere $20$ mit $1$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = - \frac{20}{77 V^{2}} + V$

Schritt 6.1.1.2

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d V}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1.1.2.1

Subtrahiere $V$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \frac{d V}{d x} = - \frac{20}{77 V^{2}} + V - V$

Schritt 6.1.1.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- \frac{20}{77 V^{2}} + V - V$ .

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Schritt 6.1.1.2.2.1

Subtrahiere $V$ von $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = - \frac{20}{77 V^{2}} + 0$

Schritt 6.1.1.2.2.2

Addiere $- \frac{20}{77 V^{2}}$ und $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = - \frac{20}{77 V^{2}}$

Schritt 6.1.1.3

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d V}{d x} = - \frac{20}{77 V^{2}}$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 6.1.1.3.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d V}{d x} = - \frac{20}{77 V^{2}}$ durch $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{- \frac{20}{77 V^{2}}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 6.1.1.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{- \frac{20}{77 V^{2}}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.2.1.2

Dividiere $\frac{d V}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{20}{77 V^{2}}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.1.1.3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{20}{77 V^{2}} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $\frac{20}{77 V^{2}}$ .

$\frac{d V}{d x} = - \frac{20}{x (77 V^{2})}$

Schritt 6.1.1.3.3.3

Bringe $77$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{d V}{d x} = - \frac{20}{77 x V^{2}}$

Schritt 6.1.2

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{20}{77 x} \cdot \frac{1}{V^{2}}$

Schritt 6.1.3

Multipliziere beide Seiten mit $V^{2}$ .

$V^{2} \frac{d V}{d x} = V^{2} (- \frac{20}{77 x} \cdot \frac{1}{V^{2}})$

Schritt 6.1.4

Vereinfache.

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Schritt 6.1.4.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$V^{2} \frac{d V}{d x} = - V^{2} (\frac{20}{77 x} \cdot \frac{1}{V^{2}})$

Schritt 6.1.4.2

Kombinieren.

$V^{2} \frac{d V}{d x} = - V^{2} \frac{20 \cdot 1}{77 x V^{2}}$

Schritt 6.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $V^{2}$ .

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Schritt 6.1.4.3.1

Faktorisiere $V^{2}$ aus $- V^{2}$ heraus.

$V^{2} \frac{d V}{d x} = V^{2} \cdot - 1 \frac{20 \cdot 1}{77 x V^{2}}$

Schritt 6.1.4.3.2

Faktorisiere $V^{2}$ aus $77 x V^{2}$ heraus.

$V^{2} \frac{d V}{d x} = V^{2} \cdot - 1 \frac{20 \cdot 1}{V^{2} (77 x)}$

Schritt 6.1.4.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$V^{2} \frac{d V}{d x} = V^{2} \cdot - 1 \frac{20 \cdot 1}{V^{2} (77 x)}$

Schritt 6.1.4.3.4

Forme den Ausdruck um.

$V^{2} \frac{d V}{d x} = - \frac{20 \cdot 1}{77 x}$

Schritt 6.1.4.4

Mutltipliziere $20$ mit $1$ .

$V^{2} \frac{d V}{d x} = - \frac{20}{77 x}$

Schritt 6.1.5

Schreibe die Gleichung um.

$V^{2} d V = - \frac{20}{77 x} d x$

Schritt 6.2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 6.2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int V^{2} d V = \int - \frac{20}{77 x} d x$

Schritt 6.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $V^{2}$ nach $V$ gleich $\frac{1}{3} V^{3}$ .

$\frac{1}{3} V^{3} + C_{1} = \int - \frac{20}{77 x} d x$

Schritt 6.2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 6.2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} V^{3} + C_{1} = - \int \frac{20}{77 x} d x$

Schritt 6.2.3.2

Da $\frac{20}{77}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{20}{77}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} V^{3} + C_{1} = - (\frac{20}{77} \int \frac{1}{x} d x)$

Schritt 6.2.3.3

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{3} V^{3} + C_{1} = - \frac{20}{77} (\ln (| x |) + C_{2})$

Schritt 6.2.3.4

Vereinfache.

$\frac{1}{3} V^{3} + C_{1} = - \frac{20}{77} \ln (| x |) + C_{2}$

Schritt 6.2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\frac{1}{3} V^{3} = - \frac{20}{77} \ln (| x |) + C$

Schritt 6.3

Löse nach $V$ auf.

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Schritt 6.3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $3$ .

$3 (\frac{1}{3} V^{3}) = 3 (- \frac{20}{77} \ln (| x |) + C)$

Schritt 6.3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 6.3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.1.1

Vereinfache $3 (\frac{1}{3} V^{3})$ .

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Schritt 6.3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $V^{3}$ .

$3 \frac{V^{3}}{3} = 3 (- \frac{20}{77} \ln (| x |) + C)$

Schritt 6.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{V^{3}}{3} = 3 (- \frac{20}{77} \ln (| x |) + C)$

Schritt 6.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$V^{3} = 3 (- \frac{20}{77} \ln (| x |) + C)$

Schritt 6.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.2.1

Vereinfache $3 (- \frac{20}{77} \ln (| x |) + C)$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.2.2.1.1.1

Kombiniere $\ln (| x |)$ und $\frac{20}{77}$ .

$V^{3} = 3 (- \frac{\ln (| x |) \cdot 20}{77} + C)$

Schritt 6.3.2.2.1.1.2

Bringe $20$ auf die linke Seite von $\ln (| x |)$ .

$V^{3} = 3 (- \frac{20 \ln (| x |)}{77} + C)$

Schritt 6.3.2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$V^{3} = 3 (- \frac{20 \ln (| x |)}{77}) + 3 C$

Schritt 6.3.2.2.1.3

Multipliziere $3 (- \frac{20 \ln (| x |)}{77})$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$V^{3} = - 3 \frac{20 \ln (| x |)}{77} + 3 C$

Schritt 6.3.2.2.1.3.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{20 \ln (| x |)}{77}$ .

$V^{3} = \frac{- 3 (20 \ln (| x |))}{77} + 3 C$

Schritt 6.3.2.2.1.3.3

Mutltipliziere $20$ mit $- 3$ .

$V^{3} = \frac{- 60 \ln (| x |)}{77} + 3 C$

Schritt 6.3.2.2.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$V^{3} = - \frac{60 \ln (| x |)}{77} + 3 C$

Schritt 6.3.3

Vereinfache $60 \ln (| x |)$ , indem du $60$ in den Logarithmus ziehst.

$V^{3} = - \frac{\ln ({| x |}^{60})}{77} + 3 C$

Schritt 6.3.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$V = \sqrt[3]{- \frac{\ln ({| x |}^{60})}{77} + 3 C}$

Schritt 6.3.5

Vereinfache $\sqrt[3]{- \frac{\ln ({| x |}^{60})}{77} + 3 C}$ .

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Schritt 6.3.5.1

Schreibe $\frac{\ln ({| x |}^{60})}{77}$ als $\frac{1}{77} \ln ({| x |}^{60})$ um.

$V = \sqrt[3]{- (\frac{1}{77} \ln ({| x |}^{60})) + 3 C}$

Schritt 6.3.5.2

Vereinfache $\frac{1}{77} \ln ({| x |}^{60})$ , indem du $\frac{1}{77}$ in den Logarithmus ziehst.

$V = \sqrt[3]{- \ln ({({| x |}^{60})}^{\frac{1}{77}}) + 3 C}$

Schritt 6.3.5.3

Multipliziere die Exponenten in ${({| x |}^{60})}^{\frac{1}{77}}$ .

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Schritt 6.3.5.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{60 (\frac{1}{77})}) + 3 C}$

Schritt 6.3.5.3.2

Kombiniere $60$ und $\frac{1}{77}$ .

$V = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{\frac{60}{77}}) + 3 C}$

Schritt 6.4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$V = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{\frac{60}{77}}) + C}$

Schritt 7

Ersetze $V$ durch $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{\frac{60}{77}}) + C}$

Schritt 8

Löse $\frac{y}{x} = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{\frac{60}{77}}) + C}$ nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Multipliziere beide Seiten mit $x$ .

$\frac{y}{x} x = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{\frac{60}{77}}) + C} x$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{x} x = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{\frac{60}{77}}) + C} x$

Schritt 8.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{\frac{60}{77}}) + C} x$