Analysis Beispiele

$2 y - 3 x + 3 + (x + 1) \frac{d y}{d x} = 0$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ um.

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Schritt 1.1

Schreibe die Gleichung als $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ um.

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Schritt 1.1.1

Addiere $3 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 y + 3 + (x + 1) \frac{d y}{d x} = 3 x$

Schritt 1.1.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y + (x + 1) \frac{d y}{d x} = 3 x - 3$

Schritt 1.1.3

Stelle die Terme um.

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + 2 y = 3 x - 3$

Schritt 1.2

Teile jeden Ausdruck in $(x + 1) \frac{d y}{d x} + 2 y = 3 x - 3$ durch $x + 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{2 y}{x + 1} = \frac{3 x}{x + 1} + \frac{- 3}{x + 1}$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 1$ .

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Schritt 1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{2 y}{x + 1} = \frac{3 x}{x + 1} + \frac{- 3}{x + 1}$

Schritt 1.3.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x + 1} = \frac{3 x}{x + 1} + \frac{- 3}{x + 1}$

Schritt 1.4

Faktorisiere $y$ aus $\frac{2 y}{x + 1}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + y \frac{2}{x + 1} = \frac{3 x}{x + 1} + \frac{- 3}{x + 1}$

Schritt 1.5

Stelle $y$ und $\frac{2}{x + 1}$ um.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x + 1} y = \frac{3 x}{x + 1} + \frac{- 3}{x + 1}$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = \frac{2}{x + 1}$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int \frac{2}{x + 1} d x}$

Schritt 2.2

Integriere $\frac{2}{x + 1}$ .

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Schritt 2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$e^{2 \int \frac{1}{x + 1} d x}$

Schritt 2.2.2

Sei $u = x + 1$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.2.2.1

Es sei $u = x + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Differenziere $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 2.2.2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2.2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2.2.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.2.2.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.2.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$e^{2 \int \frac{1}{u} d u}$

Schritt 2.2.3

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$e^{2 (\ln (| u |) + C)}$

Schritt 2.2.4

Vereinfache.

$e^{2 \ln (| u |) + C}$

Schritt 2.2.5

Ersetze alle $u$ durch $x + 1$ .

$e^{2 \ln (| x + 1 |) + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{2 \ln (x + 1)}$

Schritt 2.4

Verwende die Potenzregel des Logarithmus.

$e^{\ln ({(x + 1)}^{2})}$

Schritt 2.5

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

${(x + 1)}^{2}$

Schritt 2.6

Schreibe ${(x + 1)}^{2}$ als $(x + 1) (x + 1)$ um.

$(x + 1) (x + 1)$

Schritt 2.7

Multipliziere $(x + 1) (x + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (x + 1) + 1 (x + 1)$

Schritt 2.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)$

Schritt 2.7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1$

Schritt 2.8

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.8.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1$

Schritt 2.8.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1$

Schritt 2.8.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x^{2} + x + x + 1 \cdot 1$

Schritt 2.8.1.4

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$x^{2} + x + x + 1$

Schritt 2.8.2

Addiere $x$ und $x$ .

$x^{2} + 2 x + 1$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $x^{2} + 2 x + 1$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $x^{2} + 2 x + 1$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) \frac{d y}{d x} + (x^{2} + 2 x + 1) (\frac{2}{x + 1} y) = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + 1 \frac{d y}{d x} + (x^{2} + 2 x + 1) (\frac{2}{x + 1} y) = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $\frac{d y}{d x}$ mit $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + (x^{2} + 2 x + 1) (\frac{2}{x + 1} y) = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Schritt 3.2.3

Kombiniere $\frac{2}{x + 1}$ und $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{2 y}{x + 1} = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Schritt 3.2.4

Mutltipliziere $x^{2} + 2 x + 1$ mit $\frac{2 y}{x + 1}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + \frac{(x^{2} + 2 x + 1) (2 y)}{x + 1} = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Schritt 3.2.5

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 3.2.5.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + \frac{(x^{2} + 2 x + 1^{2}) \cdot 2 y}{x + 1} = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Schritt 3.2.5.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Schritt 3.2.5.3

Schreibe das Polynom neu.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + \frac{(x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}) \cdot 2 y}{x + 1} = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Schritt 3.2.5.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + \frac{{(x + 1)}^{2} \cdot 2 y}{x + 1} = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Schritt 3.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(x + 1)}^{2}$ und $x + 1$ .

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Schritt 3.2.6.1

Faktorisiere $x + 1$ aus ${(x + 1)}^{2} \cdot 2 y$ heraus.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + \frac{(x + 1) ((x + 1) \cdot 2 y)}{x + 1} = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Schritt 3.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.6.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + \frac{(x + 1) ((x + 1) \cdot 2 y)}{(x + 1) \cdot 1} = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Schritt 3.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + \frac{(x + 1) ((x + 1) \cdot 2 y)}{(x + 1) \cdot 1} = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Schritt 3.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + \frac{(x + 1) \cdot 2 y}{1} = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Schritt 3.2.6.2.4

Dividiere $(x + 1) \cdot 2 y$ durch $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + (x + 1) \cdot 2 y = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Schritt 3.2.7

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + (x \cdot 2 + 1 \cdot 2) y = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Schritt 3.2.8

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + (2 \cdot x + 1 \cdot 2) y = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Schritt 3.2.9

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + (2 \cdot x + 2) y = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Schritt 3.2.10

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Schritt 3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $x^{2} + 2 x + 1$ mit $\frac{3 x}{x + 1}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = \frac{(x^{2} + 2 x + 1) (3 x)}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 3.3.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = \frac{(x^{2} + 2 x + 1^{2}) \cdot 3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Schritt 3.3.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Schritt 3.3.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = \frac{(x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}) \cdot 3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Schritt 3.3.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = \frac{{(x + 1)}^{2} \cdot 3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Schritt 3.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(x + 1)}^{2}$ und $x + 1$ .

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Schritt 3.3.3.1

Faktorisiere $x + 1$ aus ${(x + 1)}^{2} \cdot 3 x$ heraus.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = \frac{(x + 1) ((x + 1) \cdot 3 x)}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Schritt 3.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.3.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = \frac{(x + 1) ((x + 1) \cdot 3 x)}{(x + 1) \cdot 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Schritt 3.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = \frac{(x + 1) ((x + 1) \cdot 3 x)}{(x + 1) \cdot 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Schritt 3.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = \frac{(x + 1) \cdot 3 x}{1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Schritt 3.3.3.2.4

Dividiere $(x + 1) \cdot 3 x$ durch $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = (x + 1) \cdot 3 x + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Schritt 3.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = (x \cdot 3 + 1 \cdot 3) x + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Schritt 3.3.5

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = (3 \cdot x + 1 \cdot 3) x + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Schritt 3.3.6

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = (3 \cdot x + 3) x + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Schritt 3.3.7

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x \cdot x + 3 x + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Schritt 3.3.8

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.8.1

Bewege $x$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 (x \cdot x) + 3 x + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Schritt 3.3.8.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Schritt 3.3.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + (x^{2} + 2 x + 1) (- \frac{3}{x + 1})$

Schritt 3.3.10

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + x^{2} (- \frac{3}{x + 1}) + 2 x (- \frac{3}{x + 1}) + 1 (- \frac{3}{x + 1})$

Schritt 3.3.11

Vereinfache.

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Schritt 3.3.11.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x - x^{2} \frac{3}{x + 1} + 2 x (- \frac{3}{x + 1}) + 1 (- \frac{3}{x + 1})$

Schritt 3.3.11.2

Multipliziere $2 x (- \frac{3}{x + 1})$ .

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Schritt 3.3.11.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x - x^{2} \frac{3}{x + 1} - 2 x \frac{3}{x + 1} + 1 (- \frac{3}{x + 1})$

Schritt 3.3.11.2.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{3}{x + 1}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x - x^{2} \frac{3}{x + 1} + x \frac{- 2 \cdot 3}{x + 1} + 1 (- \frac{3}{x + 1})$

Schritt 3.3.11.2.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x - x^{2} \frac{3}{x + 1} + x \frac{- 6}{x + 1} + 1 (- \frac{3}{x + 1})$

Schritt 3.3.11.2.4

Kombiniere $x$ und $\frac{- 6}{x + 1}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x - x^{2} \frac{3}{x + 1} + \frac{x \cdot - 6}{x + 1} + 1 (- \frac{3}{x + 1})$

Schritt 3.3.11.3

Mutltipliziere $- \frac{3}{x + 1}$ mit $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x - x^{2} \frac{3}{x + 1} + \frac{x \cdot - 6}{x + 1} - \frac{3}{x + 1}$

Schritt 3.3.12

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.12.1

Kombiniere $\frac{3}{x + 1}$ und $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x - \frac{3 x^{2}}{x + 1} + \frac{x \cdot - 6}{x + 1} - \frac{3}{x + 1}$

Schritt 3.3.12.2

Bringe $- 6$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x - \frac{3 x^{2}}{x + 1} + \frac{- 6 \cdot x}{x + 1} - \frac{3}{x + 1}$

Schritt 3.3.12.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x - \frac{3 x^{2}}{x + 1} - \frac{6 x}{x + 1} - \frac{3}{x + 1}$

Schritt 3.3.13

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{- 3 x^{2} - 6 x - 3}{x + 1}$

Schritt 3.3.14

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.14.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x^{2} - 6 x - 3$ heraus.

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Schritt 3.3.14.1.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 (- x^{2}) - 6 x - 3}{x + 1}$

Schritt 3.3.14.1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 6 x$ heraus.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 (- x^{2}) + 3 (- 2 x) - 3}{x + 1}$

Schritt 3.3.14.1.3

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 (- x^{2}) + 3 (- 2 x) + 3 (- 1)}{x + 1}$

Schritt 3.3.14.1.4

Faktorisiere $3$ aus $3 (- x^{2}) + 3 (- 2 x)$ heraus.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 (- x^{2} - 2 x) + 3 (- 1)}{x + 1}$

Schritt 3.3.14.1.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (- x^{2} - 2 x) + 3 (- 1)$ heraus.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 (- x^{2} - 2 x - 1)}{x + 1}$

Schritt 3.3.14.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.3.14.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot - 1 = 1$ und deren Summe gleich $b = - 2$ ist.

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Schritt 3.3.14.2.1.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 x$ heraus.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 (- x^{2} - 2 (x) - 1)}{x + 1}$

Schritt 3.3.14.2.1.2

Schreibe $- 2$ um als $- 1$ plus $- 1$

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 (- x^{2} + (- 1 - 1) x - 1)}{x + 1}$

Schritt 3.3.14.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 (- x^{2} - 1 x - 1 x - 1)}{x + 1}$

Schritt 3.3.14.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.3.14.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 ((- x^{2} - 1 x) - 1 x - 1)}{x + 1}$

Schritt 3.3.14.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 (x (- x - 1) + 1 (- x - 1))}{x + 1}$

Schritt 3.3.14.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x - 1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 ((- x - 1) (x + 1))}{x + 1}$

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 (- x - 1) (x + 1)}{x + 1}$

Schritt 3.3.14.3

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 3.3.14.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 (- (x) - 1) (x + 1)}{x + 1}$

Schritt 3.3.14.3.2

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 (- (x) - 1 (1)) (x + 1)}{x + 1}$

Schritt 3.3.14.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (1)$ heraus.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 (- (x + 1)) (x + 1)}{x + 1}$

Schritt 3.3.14.3.4

Schreibe $- (x + 1)$ als $- 1 (x + 1)$ um.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 (- 1 (x + 1)) (x + 1)}{x + 1}$

Schritt 3.3.14.3.5

Potenziere $x + 1$ mit $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 \cdot - 1 ({(x + 1)}^{1} (x + 1))}{x + 1}$

Schritt 3.3.14.3.6

Potenziere $x + 1$ mit $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 \cdot - 1 ({(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1})}{x + 1}$

Schritt 3.3.14.3.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 \cdot - 1 {(x + 1)}^{1 + 1}}{x + 1}$

Schritt 3.3.14.3.8

Addiere $1$ und $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 \cdot - 1 {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Schritt 3.3.14.3.9

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{- 3 {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Schritt 3.3.15

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(x + 1)}^{2}$ und $x + 1$ .

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Schritt 3.3.15.1

Faktorisiere $x + 1$ aus $- 3 {(x + 1)}^{2}$ heraus.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{(x + 1) (- 3 (x + 1))}{x + 1}$

Schritt 3.3.15.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.15.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{(x + 1) (- 3 (x + 1))}{(x + 1) \cdot 1}$

Schritt 3.3.15.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{(x + 1) (- 3 (x + 1))}{(x + 1) \cdot 1}$

Schritt 3.3.15.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{- 3 (x + 1)}{1}$

Schritt 3.3.15.2.4

Dividiere $- 3 (x + 1)$ durch $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x - 3 (x + 1)$

Schritt 3.3.16

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x - 3 x - 3 \cdot 1$

Schritt 3.3.17

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x - 3 x - 3$

Schritt 3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $3 x^{2} + 3 x - 3 x - 3$ .

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Schritt 3.4.1

Subtrahiere $3 x$ von $3 x$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 0 - 3$

Schritt 3.4.2

Addiere $3 x^{2}$ und $0$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} - 3$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + 2 x + 1) y] = 3 x^{2} - 3$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [(x^{2} + 2 x + 1) y] d x = \int 3 x^{2} - 3 d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$(x^{2} + 2 x + 1) y = \int 3 x^{2} - 3 d x$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$(x^{2} + 2 x + 1) y = \int 3 x^{2} d x + \int - 3 d x$

Schritt 7.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$(x^{2} + 2 x + 1) y = 3 \int x^{2} d x + \int - 3 d x$

Schritt 7.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) y = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 3 d x$

Schritt 7.4

Wende die Konstantenregel an.

$(x^{2} + 2 x + 1) y = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 3 x + C$

Schritt 7.5

Vereinfache.

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Schritt 7.5.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) y = 3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 3 x + C$

Schritt 7.5.2

Vereinfache.

$(x^{2} + 2 x + 1) y = x^{3} - 3 x + C$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $(x^{2} + 2 x + 1) y = x^{3} - 3 x + C$ durch $x^{2} + 2 x + 1$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $(x^{2} + 2 x + 1) y = x^{3} - 3 x + C$ durch $x^{2} + 2 x + 1$ .

$\frac{(x^{2} + 2 x + 1) y}{x^{2} + 2 x + 1} = \frac{x^{3}}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{- 3 x}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{C}{x^{2} + 2 x + 1}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + 2 x + 1$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x^{2} + 2 x + 1) y}{x^{2} + 2 x + 1} = \frac{x^{3}}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{- 3 x}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{C}{x^{2} + 2 x + 1}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{- 3 x}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{C}{x^{2} + 2 x + 1}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.3.1.1

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 8.3.1.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$y = \frac{x^{3}}{x^{2} + 2 x + 1^{2}} + \frac{- 3 x}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{C}{x^{2} + 2 x + 1}$

Schritt 8.3.1.1.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Schritt 8.3.1.1.3

Schreibe das Polynom neu.

$y = \frac{x^{3}}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}} + \frac{- 3 x}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{C}{x^{2} + 2 x + 1}$

Schritt 8.3.1.1.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 1$ .

$y = \frac{x^{3}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{- 3 x}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{C}{x^{2} + 2 x + 1}$

Schritt 8.3.1.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 8.3.1.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$y = \frac{x^{3}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{- 3 x}{x^{2} + 2 x + 1^{2}} + \frac{C}{x^{2} + 2 x + 1}$

Schritt 8.3.1.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Schritt 8.3.1.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$y = \frac{x^{3}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{- 3 x}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}} + \frac{C}{x^{2} + 2 x + 1}$

Schritt 8.3.1.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 1$ .

$y = \frac{x^{3}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{- 3 x}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{C}{x^{2} + 2 x + 1}$

Schritt 8.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{x^{3}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{3 x}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{C}{x^{2} + 2 x + 1}$

Schritt 8.3.1.4

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 8.3.1.4.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$y = \frac{x^{3}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{3 x}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{C}{x^{2} + 2 x + 1^{2}}$

Schritt 8.3.1.4.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Schritt 8.3.1.4.3

Schreibe das Polynom neu.

$y = \frac{x^{3}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{3 x}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{C}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}$

Schritt 8.3.1.4.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 1$ .

$y = \frac{x^{3}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{3 x}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{C}{{(x + 1)}^{2}}$