Analysis Beispiele

$x y^{2} \frac{d y}{d x} = x + 1$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $x y^{2} \frac{d y}{d x} = x + 1$ durch $x y^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.1

Teile jeden Ausdruck in $x y^{2} \frac{d y}{d x} = x + 1$ durch $x y^{2}$ .

$\frac{x y^{2} \frac{d y}{d x}}{x y^{2}} = \frac{x}{x y^{2}} + \frac{1}{x y^{2}}$

Schritt 1.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y^{2} \frac{d y}{d x}}{x y^{2}} = \frac{x}{x y^{2}} + \frac{1}{x y^{2}}$

Schritt 1.1.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y^{2} \frac{d y}{d x}}{y^{2}} = \frac{x}{x y^{2}} + \frac{1}{x y^{2}}$

Schritt 1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{2} \frac{d y}{d x}}{y^{2}} = \frac{x}{x y^{2}} + \frac{1}{x y^{2}}$

Schritt 1.1.2.2.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x y^{2}} + \frac{1}{x y^{2}}$

Schritt 1.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.1.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x y^{2}} + \frac{1}{x y^{2}}$

Schritt 1.1.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} + \frac{1}{x y^{2}}$

Schritt 1.2

Faktorisiere.

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Schritt 1.2.1

Um $\frac{1}{y^{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x y^{2}}$

Schritt 1.2.2

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $x y^{2}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{y^{2}}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y^{2} x} + \frac{1}{x y^{2}}$

Schritt 1.2.2.2

Stelle die Faktoren von $x y^{2}$ um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y^{2} x} + \frac{1}{y^{2} x}$

Schritt 1.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + 1}{y^{2} x}$

Schritt 1.3

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + 1}{x} \cdot \frac{1}{y^{2}}$

Schritt 1.4

Multipliziere beide Seiten mit $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} (\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{1}{y^{2}})$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Mutltipliziere $\frac{x + 1}{x}$ mit $\frac{1}{y^{2}}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x + 1}{x y^{2}}$

Schritt 1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 1.5.2.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $x y^{2}$ heraus.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x + 1}{y^{2} x}$

Schritt 1.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x + 1}{y^{2} x}$

Schritt 1.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{x + 1}{x}$

Schritt 1.6

Schreibe die Gleichung um.

$y^{2} d y = \frac{x + 1}{x} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int y^{2} d y = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Schritt 2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{x}{x} + \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int d x + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3.4

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = x + C_{2} + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3.5

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = x + C_{2} + \ln (| x |) + C_{3}$

Schritt 2.3.6

Vereinfache.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = x + \ln (| x |) + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\frac{1}{3} y^{3} = x + \ln (| x |) + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (x + \ln (| x |) + C)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (x + \ln (| x |) + C)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (x + \ln (| x |) + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{3} = 3 (x + \ln (| x |) + C)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{3} = 3 x + 3 \ln (| x |) + 3 C$

Schritt 3.3

Vereinfache $3 \ln (| x |)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$y^{3} = 3 x + \ln ({| x |}^{3}) + 3 C$

Schritt 3.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \sqrt[3]{3 x + \ln ({| x |}^{3}) + 3 C}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \sqrt[3]{3 x + \ln ({| x |}^{3}) + C}$