Analysis Beispiele

$x d y = (y + 2 x^{3}) d x$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung so um, dass sie der Technik der exakten Differentialgleichung entspricht.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $(y + 2 x^{3}) d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x d y - (y + 2 x^{3}) d x = 0$

Schritt 1.2

Forme um.

$- (y + 2 x^{3}) d x + x d y = 0$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = - (y + 2 x^{3})$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- (y + 2 x^{3})]$

Schritt 2.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- (y + 2 x^{3})$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [y + 2 x^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [y + 2 x^{3}]$

Schritt 2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y + 2 x^{3}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 x^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 x^{3}])$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (1 + \frac{d}{d y} [2 x^{3}])$

Schritt 2.5

Da $2 x^{3}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{3}$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (1 + 0)$

Schritt 2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.6.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1 \cdot 1$

Schritt 2.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1$

Schritt 3

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = x$ .

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Schritt 3.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Schritt 4

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 4.1

Setze $- 1$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $1$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$- 1 = 1$

Schritt 4.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$- 1 = 1$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 5

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Schritt 5.1

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $- 1$ .

$\frac{- 1 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Schritt 5.2

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $1$ .

$\frac{- 1 - 1}{N}$

Schritt 5.3

Ersetze $N$ durch $x$ .

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Schritt 5.3.1

Ersetze $N$ durch $x$ .

$\frac{- 1 - 1}{x}$

Schritt 5.3.2

Subtrahiere $1$ von $- 1$ .

$\frac{- 2}{x}$

Schritt 5.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{x}$

Schritt 5.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Schritt 6

Berechne das Integral $e^{\int - \frac{2}{x} d x}$ .

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Schritt 6.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Schritt 6.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 6.4

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Schritt 6.5

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| x |)} + C$

Schritt 6.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.6.1

Vereinfache $- 2 \ln (| x |)$ , indem du $- 2$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 2})} + C$

Schritt 6.6.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 2} + C$

Schritt 6.6.3

Entferne den Absolutwert in ${| x |}^{- 2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$μ (x, y) = x^{- 2} + C$

Schritt 6.6.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{2}} + C$

Schritt 7

Multipliziere beide Seiten von $- (y + 2 x^{3}) d x + x d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $\frac{1}{x^{2}}$ .

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- (y + 2 x^{3})$ mit $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- (y + 2 x^{3}) \frac{1}{x^{2}} d x + x d y = 0$

Schritt 7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(- y - (2 x^{3})) \frac{1}{x^{2}} d x + x d y = 0$

Schritt 7.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$(- y - 2 x^{3}) \frac{1}{x^{2}} d x + x d y = 0$

Schritt 7.4

Mutltipliziere $- y - 2 x^{3}$ mit $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- y - 2 x^{3}}{x^{2}} d x + x d y = 0$

Schritt 7.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- y$ heraus.

$\frac{- (y) - 2 x^{3}}{x^{2}} d x + x d y = 0$

Schritt 7.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x^{3}$ heraus.

$\frac{- (y) - (2 x^{3})}{x^{2}} d x + x d y = 0$

Schritt 7.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (y) - (2 x^{3})$ heraus.

$\frac{- (y + 2 x^{3})}{x^{2}} d x + x d y = 0$

Schritt 7.8

Schreibe $- (y + 2 x^{3})$ als $- 1 (y + 2 x^{3})$ um.

$\frac{- 1 (y + 2 x^{3})}{x^{2}} d x + x d y = 0$

Schritt 7.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{y + 2 x^{3}}{x^{2}} d x + x d y = 0$

Schritt 7.10

Mutltipliziere $x$ mit $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{y + 2 x^{3}}{x^{2}} d x + x \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Schritt 7.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 7.11.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$- \frac{y + 2 x^{3}}{x^{2}} d x + x \frac{1}{x \cdot x} d y = 0$

Schritt 7.11.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{y + 2 x^{3}}{x^{2}} d x + x \frac{1}{x \cdot x} d y = 0$

Schritt 7.11.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{y + 2 x^{3}}{x^{2}} d x + \frac{1}{x} d y = 0$

Schritt 8

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{1}{x} d y$

Schritt 9

Integriere $N (x, y) = \frac{1}{x}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 9.1

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = \frac{1}{x} y + C$

Schritt 9.2

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $y$ .

$f (x, y) = \frac{y}{x} + C$

Schritt 10

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = \frac{y}{x} + g (x)$

Schritt 11

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = - \frac{y + 2 x^{3}}{x^{2}}$

Schritt 12

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 12.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y}{x} + g (x)] = - \frac{y + 2 x^{3}}{x^{2}}$

Schritt 12.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{y}{x} + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{y}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{y + 2 x^{3}}{x^{2}}$

Schritt 12.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{y}{x}]$ .

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Schritt 12.3.1

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{y}{x}$ nach $x$ gleich $y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{y + 2 x^{3}}{x^{2}}$

Schritt 12.3.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$y \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{y + 2 x^{3}}{x^{2}}$

Schritt 12.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$y (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{y + 2 x^{3}}{x^{2}}$

Schritt 12.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$y (- x^{- 2}) + \frac{d g}{d x} = - \frac{y + 2 x^{3}}{x^{2}}$

Schritt 12.5

Vereinfache.

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Schritt 12.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{d g}{d x} = - \frac{y + 2 x^{3}}{x^{2}}$

Schritt 12.5.2

Kombiniere $y$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = - \frac{y + 2 x^{3}}{x^{2}}$

Schritt 12.5.3

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} - \frac{y}{x^{2}} = - \frac{y + 2 x^{3}}{x^{2}}$

Schritt 13

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 13.1

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 13.1.1

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 13.1.1.1

Addiere $\frac{y + 2 x^{3}}{x^{2}}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} - \frac{y}{x^{2}} + \frac{y + 2 x^{3}}{x^{2}} = 0$

Schritt 13.1.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y + y + 2 x^{3}}{x^{2}} = 0$

Schritt 13.1.1.3

Addiere $- y$ und $y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{0 + 2 x^{3}}{x^{2}} = 0$

Schritt 13.1.1.4

Addiere $0$ und $2 x^{3}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{2 x^{3}}{x^{2}} = 0$

Schritt 13.1.1.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{3}$ und $x^{2}$ .

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Schritt 13.1.1.5.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $2 x^{3}$ heraus.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} (2 x)}{x^{2}} = 0$

Schritt 13.1.1.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.1.1.5.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} (2 x)}{x^{2} \cdot 1} = 0$

Schritt 13.1.1.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} (2 x)}{x^{2} \cdot 1} = 0$

Schritt 13.1.1.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d g}{d x} + \frac{2 x}{1} = 0$

Schritt 13.1.1.5.2.4

Dividiere $2 x$ durch $1$ .

$\frac{d g}{d x} + 2 x = 0$

Schritt 13.1.2

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} = - 2 x$

Schritt 14

Bestimme die Stammfunktion von $- 2 x$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 14.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = - 2 x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - 2 x d x$

Schritt 14.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - 2 x d x$

Schritt 14.3

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$g (x) = - 2 \int x d x$

Schritt 14.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 14.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 14.5.1

Schreibe $- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ als $- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ um.

$g (x) = - 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Schritt 14.5.2

Vereinfache.

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Schritt 14.5.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \frac{- 2}{2} x^{2} + C$

Schritt 14.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 14.5.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$g (x) = \frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C$

Schritt 14.5.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 14.5.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$g (x) = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C$

Schritt 14.5.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$g (x) = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

Schritt 14.5.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$g (x) = \frac{- 1}{1} x^{2} + C$

Schritt 14.5.2.2.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$g (x) = - x^{2} + C$

Schritt 15

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = \frac{y}{x} + g (x)$ ein.

$f (x, y) = \frac{y}{x} - x^{2} + C$