Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = - 2 x^{3} y$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (- 2 x^{3} y)$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - 2 \frac{1}{y} (x^{3} y)$

Schritt 1.2.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 2}{y} (x^{3} y)$

Schritt 1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.2.3.1

Faktorisiere $y$ aus $x^{3} y$ heraus.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 2}{y} (y x^{3})$

Schritt 1.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 2}{y} (y x^{3})$

Schritt 1.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - 2 x^{3}$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y} d y = - 2 x^{3} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - 2 x^{3} d x$

Schritt 2.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - 2 x^{3} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int x^{3} d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.3.3.1

Schreibe $- 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$ als $- 2 (\frac{1}{4}) x^{4} + C_{2}$ um.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{4}) x^{4} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{4}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 2}{4} x^{4} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $4$ .

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Schritt 2.3.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 (- 1)}{4} x^{4} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.3.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} x^{4} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} x^{4} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 1}{2} x^{4} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{4} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y |) = - \frac{1}{2} x^{4} + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- \frac{1}{2} x^{4} + C}$

Schritt 3.2

Schreibe $\ln (| y |) = - \frac{1}{2} x^{4} + C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{2} x^{4} + C} = | y |$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $| y | = e^{- \frac{1}{2} x^{4} + C}$ um.

$| y | = e^{- \frac{1}{2} x^{4} + C}$

Schritt 3.3.2

Kombiniere $x^{4}$ und $\frac{1}{2}$ .

$| y | = e^{- \frac{x^{4}}{2} + C}$

Schritt 3.3.3

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- \frac{x^{4}}{2} + C}$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Schreibe $e^{- \frac{x^{4}}{2} + C}$ als $e^{- \frac{x^{4}}{2}} e^{C}$ um.

$y = \pm e^{- \frac{x^{4}}{2}} e^{C}$

Schritt 4.2

Stelle $e^{- \frac{x^{4}}{2}}$ und $e^{C}$ um.

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{x^{4}}{2}}$

Schritt 4.3

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = C e^{- \frac{x^{4}}{2}}$