Analysis Beispiele

$3 x^{2} (\ln (y)) d x + \frac{x^{2}}{y} d y = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $3 x^{2} (\ln (y)) d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{x^{2}}{y} d y = - 3 x^{2} \ln (y) d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{x^{2} \ln (y)}$ .

$\frac{1}{x^{2} \ln (y)} \cdot \frac{x^{2}}{y} d y = \frac{1}{x^{2} \ln (y)} (- 3 x^{2} \ln (y)) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kombinieren.

$\frac{1 x^{2}}{x^{2} \ln (y) y} d y = \frac{1}{x^{2} \ln (y)} (- 3 x^{2} \ln (y)) d x$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 x^{2}}{x^{2} \ln (y) y} d y = \frac{1}{x^{2} \ln (y)} (- 3 x^{2} \ln (y)) d x$

Schritt 3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\ln (y) y} d y = \frac{1}{x^{2} \ln (y)} (- 3 x^{2} \ln (y)) d x$

Schritt 3.3

Stelle die Faktoren in $\frac{1}{\ln (y) y}$ um.

$\frac{1}{y \ln (y)} d y = \frac{1}{x^{2} \ln (y)} (- 3 x^{2} \ln (y)) d x$

Schritt 3.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{y \ln (y)} d y = - 3 \frac{1}{x^{2} \ln (y)} (x^{2} \ln (y)) d x$

Schritt 3.5

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{x^{2} \ln (y)}$ .

$\frac{1}{y \ln (y)} d y = \frac{- 3}{x^{2} \ln (y)} (x^{2} \ln (y)) d x$

Schritt 3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} \ln (y)$ .

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Schritt 3.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y \ln (y)} d y = \frac{- 3}{x^{2} \ln (y)} (x^{2} \ln (y)) d x$

Schritt 3.6.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y \ln (y)} d y = - 3 d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y \ln (y)} d y = \int - 3 d x$

Schritt 4.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Sei $u = \ln (y)$ . Dann ist $d u = \frac{1}{y} d y$ , folglich $y d u = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.2.1.1

Es sei $u = \ln (y)$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 4.2.1.1.1

Differenziere $\ln (y)$ .

$\frac{d}{d y} [\ln (y)]$

Schritt 4.2.1.1.2

Die Ableitung von $\ln (y)$ nach $y$ ist $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y}$

Schritt 4.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{u} d u = \int - 3 d x$

Schritt 4.2.2

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int - 3 d x$

Schritt 4.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\ln (y)$ .

$\ln (| \ln (y) |) + C_{1} = \int - 3 d x$

Schritt 4.3

Wende die Konstantenregel an.

$\ln (| \ln (y) |) + C_{1} = - 3 x + C_{2}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| \ln (y) |) = - 3 x + C$

Schritt 5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.1

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| \ln (y) |)} = e^{- 3 x + C}$

Schritt 5.2

Schreibe $\ln (| \ln (y) |) = - 3 x + C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- 3 x + C} = | \ln (y) |$

Schritt 5.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.3.1

Schreibe die Gleichung als $| \ln (y) | = e^{- 3 x + C}$ um.

$| \ln (y) | = e^{- 3 x + C}$

Schritt 5.3.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.3.2.1

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$\ln (y) = \pm e^{- 3 x + C}$

Schritt 5.3.2.2

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (y)} = e^{\pm e^{- 3 x + C}}$

Schritt 5.3.2.3

Schreibe $\ln (y) = \pm e^{- 3 x + C}$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{\pm e^{- 3 x + C}} = y$

Schritt 5.3.2.4

Schreibe die Gleichung als $y = e^{\pm e^{- 3 x + C}}$ um.

$y = e^{\pm e^{- 3 x + C}}$

Schritt 6

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 6.1

Schreibe $e^{- 3 x + C}$ als $e^{- 3 x} e^{C}$ um.

$y = e^{\pm e^{- 3 x} e^{C}}$

Schritt 6.2

Stelle $e^{- 3 x}$ und $e^{C}$ um.

$y = e^{\pm e^{C} e^{- 3 x}}$

Schritt 6.3

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = e^{C e^{- 3 x}}$