Analysis Beispiele

$(t^{2} - y t^{2}) \frac{d y}{d t} + y^{2} + t \cdot y^{2} = 0$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Löse nach $\frac{d y}{d t}$ auf.

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Schritt 1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$t^{2} \frac{d y}{d t} - y t^{2} \frac{d y}{d t} + y^{2} + t y^{2} = 0$

Schritt 1.1.2

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d y}{d t}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.2.1

Subtrahiere $y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$t^{2} \frac{d y}{d t} - y t^{2} \frac{d y}{d t} + t y^{2} = - y^{2}$

Schritt 1.1.2.2

Subtrahiere $t y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$t^{2} \frac{d y}{d t} - y t^{2} \frac{d y}{d t} = - y^{2} - t y^{2}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $t^{2} \frac{d y}{d t}$ aus $t^{2} \frac{d y}{d t} - y t^{2} \frac{d y}{d t}$ heraus.

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Schritt 1.1.3.1

Faktorisiere $t^{2} \frac{d y}{d t}$ aus $t^{2} \frac{d y}{d t}$ heraus.

$t^{2} \frac{d y}{d t} \cdot 1 - y t^{2} \frac{d y}{d t} = - y^{2} - t y^{2}$

Schritt 1.1.3.2

Faktorisiere $t^{2} \frac{d y}{d t}$ aus $- y t^{2} \frac{d y}{d t}$ heraus.

$t^{2} \frac{d y}{d t} \cdot 1 + t^{2} \frac{d y}{d t} (- y) = - y^{2} - t y^{2}$

Schritt 1.1.3.3

Faktorisiere $t^{2} \frac{d y}{d t}$ aus $t^{2} \frac{d y}{d t} \cdot 1 + t^{2} \frac{d y}{d t} (- y)$ heraus.

$t^{2} \frac{d y}{d t} (1 - y) = - y^{2} - t y^{2}$

Schritt 1.1.4

Teile jeden Ausdruck in $t^{2} \frac{d y}{d t} (1 - y) = - y^{2} - t y^{2}$ durch $t^{2} (1 - y)$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.4.1

Teile jeden Ausdruck in $t^{2} \frac{d y}{d t} (1 - y) = - y^{2} - t y^{2}$ durch $t^{2} (1 - y)$ .

$\frac{t^{2} \frac{d y}{d t} (1 - y)}{t^{2} (1 - y)} = \frac{- y^{2}}{t^{2} (1 - y)} + \frac{- t y^{2}}{t^{2} (1 - y)}$

Schritt 1.1.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t^{2}$ .

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Schritt 1.1.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{t^{2} \frac{d y}{d t} (1 - y)}{t^{2} (1 - y)} = \frac{- y^{2}}{t^{2} (1 - y)} + \frac{- t y^{2}}{t^{2} (1 - y)}$

Schritt 1.1.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{d y}{d t} (1 - y)}{1 - y} = \frac{- y^{2}}{t^{2} (1 - y)} + \frac{- t y^{2}}{t^{2} (1 - y)}$

Schritt 1.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - y$ .

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Schritt 1.1.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{d y}{d t} (1 - y)}{1 - y} = \frac{- y^{2}}{t^{2} (1 - y)} + \frac{- t y^{2}}{t^{2} (1 - y)}$

Schritt 1.1.4.2.2.2

Dividiere $\frac{d y}{d t}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{- y^{2}}{t^{2} (1 - y)} + \frac{- t y^{2}}{t^{2} (1 - y)}$

Schritt 1.1.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.4.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2}}{t^{2} (1 - y)} + \frac{- t y^{2}}{t^{2} (1 - y)}$

Schritt 1.1.4.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $t$ und $t^{2}$ .

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Schritt 1.1.4.3.1.2.1

Faktorisiere $t$ aus $- t y^{2}$ heraus.

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2}}{t^{2} (1 - y)} + \frac{t (- 1 y^{2})}{t^{2} (1 - y)}$

Schritt 1.1.4.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.4.3.1.2.2.1

Faktorisiere $t$ aus $t^{2} (1 - y)$ heraus.

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2}}{t^{2} (1 - y)} + \frac{t (- 1 y^{2})}{t (t (1 - y))}$

Schritt 1.1.4.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2}}{t^{2} (1 - y)} + \frac{t (- 1 y^{2})}{t (t (1 - y))}$

Schritt 1.1.4.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2}}{t^{2} (1 - y)} + \frac{- 1 y^{2}}{t (1 - y)}$

Schritt 1.1.4.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2}}{t^{2} (1 - y)} - \frac{y^{2}}{t (1 - y)}$

Schritt 1.2

Faktorisiere.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- \frac{y^{2}}{t^{2} (1 - y)} - \frac{y^{2}}{t (1 - y)}$ heraus.

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Schritt 1.2.1.1

Stelle den Ausdruck um.

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Schritt 1.2.1.1.1

Stelle $1$ und $- y$ um.

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)} - \frac{y^{2}}{t (1 - y)}$

Schritt 1.2.1.1.2

Stelle $1$ und $- y$ um.

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)} - \frac{y^{2}}{t (- y + 1)}$

Schritt 1.2.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)}$ heraus.

$\frac{d y}{d t} = - (\frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)}) - \frac{y^{2}}{t (- y + 1)}$

Schritt 1.2.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- \frac{y^{2}}{t (- y + 1)}$ heraus.

$\frac{d y}{d t} = - (\frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)}) - (\frac{y^{2}}{t (- y + 1)})$

Schritt 1.2.1.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)}) - (\frac{y^{2}}{t (- y + 1)})$ heraus.

$\frac{d y}{d t} = - (\frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)} + \frac{y^{2}}{t (- y + 1)})$

Schritt 1.2.2

Um $\frac{y^{2}}{t (- y + 1)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{t}{t}$ .

$\frac{d y}{d t} = - (\frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)} + \frac{y^{2}}{t (- y + 1)} \cdot \frac{t}{t})$

Schritt 1.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(- y + 1) t^{2}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{y^{2}}{t (- y + 1)}$ mit $\frac{t}{t}$ .

$\frac{d y}{d t} = - (\frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)} + \frac{y^{2} t}{t (- y + 1) t})$

Schritt 1.2.3.2

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\frac{d y}{d t} = - (\frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)} + \frac{y^{2} t}{t^{1} t (- y + 1)})$

Schritt 1.2.3.3

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\frac{d y}{d t} = - (\frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)} + \frac{y^{2} t}{t^{1} t^{1} (- y + 1)})$

Schritt 1.2.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d y}{d t} = - (\frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)} + \frac{y^{2} t}{t^{1 + 1} (- y + 1)})$

Schritt 1.2.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{d y}{d t} = - (\frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)} + \frac{y^{2} t}{t^{2} (- y + 1)})$

Schritt 1.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2} + y^{2} t}{t^{2} (- y + 1)}$

Schritt 1.2.5

Faktorisiere $y^{2}$ aus $y^{2} + y^{2} t$ heraus.

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Schritt 1.2.5.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2} \cdot 1 + y^{2} t}{t^{2} (- y + 1)}$

Schritt 1.2.5.2

Faktorisiere $y^{2}$ aus $y^{2} t$ heraus.

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2} \cdot 1 + y^{2} (t)}{t^{2} (- y + 1)}$

Schritt 1.2.5.3

Faktorisiere $y^{2}$ aus $y^{2} \cdot 1 + y^{2} (t)$ heraus.

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2} \cdot (1 + t)}{t^{2} (- y + 1)}$

Schritt 1.2.5.4

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1 + t$ .

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2} (1 + t)}{t^{2} (- y + 1)}$

Schritt 1.3

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2}}{- y + 1} \cdot \frac{1 + t}{t^{2}}$

Schritt 1.4

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{- y + 1}{y^{2}}$ .

$\frac{- y + 1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{- y + 1}{y^{2}} (- \frac{y^{2}}{- y + 1} \cdot \frac{1 + t}{t^{2}})$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{- y + 1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = - \frac{- y + 1}{y^{2}} (\frac{y^{2}}{- y + 1} \cdot \frac{1 + t}{t^{2}})$

Schritt 1.5.2

Mutltipliziere $\frac{y^{2}}{- y + 1}$ mit $\frac{1 + t}{t^{2}}$ .

$\frac{- y + 1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = - \frac{- y + 1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + t)}{(- y + 1) t^{2}}$

Schritt 1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- y + 1$ .

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Schritt 1.5.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{- y + 1}{y^{2}}$ in den Zähler.

$\frac{- y + 1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{- (- y + 1)}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + t)}{(- y + 1) t^{2}}$

Schritt 1.5.3.2

Faktorisiere $- y + 1$ aus $- (- y + 1)$ heraus.

$\frac{- y + 1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{(- y + 1) \cdot - 1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + t)}{(- y + 1) t^{2}}$

Schritt 1.5.3.3

Faktorisiere $- y + 1$ aus $(- y + 1) t^{2}$ heraus.

$\frac{- y + 1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{(- y + 1) \cdot - 1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + t)}{(- y + 1) (t^{2})}$

Schritt 1.5.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- y + 1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{(- y + 1) \cdot - 1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + t)}{(- y + 1) t^{2}}$

Schritt 1.5.3.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- y + 1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{- 1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + t)}{t^{2}}$

Schritt 1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- y + 1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{- 1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + t)}{t^{2}}$

Schritt 1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- y + 1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = - \frac{1 + t}{t^{2}}$

Schritt 1.6

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{- y + 1}{y^{2}} d y = - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{- y + 1}{y^{2}} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.2.1.1

Bringe $y^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int (- y + 1) {(y^{2})}^{- 1} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Schritt 2.2.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (- y + 1) y^{2 \cdot - 1} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Schritt 2.2.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int (- y + 1) y^{- 2} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Schritt 2.2.2

Multipliziere $(- y + 1) y^{- 2}$ .

$\int - y \cdot y^{- 2} + 1 y^{- 2} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Schritt 2.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.2.3.1

Multipliziere $y$ mit $y^{- 2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.3.1.1

Bewege $y^{- 2}$ .

$\int - (y^{- 2} y) + 1 y^{- 2} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Schritt 2.2.3.1.2

Mutltipliziere $y^{- 2}$ mit $y$ .

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Schritt 2.2.3.1.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\int - (y^{- 2} y^{1}) + 1 y^{- 2} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Schritt 2.2.3.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int - y^{- 2 + 1} + 1 y^{- 2} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Schritt 2.2.3.1.3

Addiere $- 2$ und $1$ .

$\int - y^{- 1} + 1 y^{- 2} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Schritt 2.2.3.2

Mutltipliziere $y^{- 2}$ mit $1$ .

$\int - y^{- 1} + y^{- 2} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Schritt 2.2.4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int - y^{- 1} d y + \int y^{- 2} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Schritt 2.2.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int y^{- 1} d y + \int y^{- 2} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Schritt 2.2.6

Das Integral von $y^{- 1}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$- (\ln (| y |) + C_{1}) + \int y^{- 2} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Schritt 2.2.7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{- 2}$ nach $y$ gleich $- y^{- 1}$ .

$- (\ln (| y |) + C_{1}) - y^{- 1} + C_{2} = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Schritt 2.2.8

Vereinfache.

$- \ln (| y |) - \frac{1}{y} + C_{3} = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Schritt 2.2.9

Stelle die Terme um.

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - \int \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Schritt 2.3.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.3.2.1

Bringe $t^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - \int (1 + t) {(t^{2})}^{- 1} d t$

Schritt 2.3.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(t^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - \int (1 + t) t^{2 \cdot - 1} d t$

Schritt 2.3.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - \int (1 + t) t^{- 2} d t$

Schritt 2.3.3

Multipliziere $(1 + t) t^{- 2}$ .

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - \int 1 t^{- 2} + t \cdot t^{- 2} d t$

Schritt 2.3.4

Vereinfache.

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Schritt 2.3.4.1

Mutltipliziere $t^{- 2}$ mit $1$ .

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - \int t^{- 2} + t \cdot t^{- 2} d t$

Schritt 2.3.4.2

Multipliziere $t$ mit $t^{- 2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.4.2.1

Mutltipliziere $t$ mit $t^{- 2}$ .

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Schritt 2.3.4.2.1.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - \int t^{- 2} + t^{1} t^{- 2} d t$

Schritt 2.3.4.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - \int t^{- 2} + t^{1 - 2} d t$

Schritt 2.3.4.2.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - \int t^{- 2} + t^{- 1} d t$

Schritt 2.3.5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - (\int t^{- 2} d t + \int t^{- 1} d t)$

Schritt 2.3.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{- 2}$ nach $t$ gleich $- t^{- 1}$ .

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - (- t^{- 1} + C_{4} + \int t^{- 1} d t)$

Schritt 2.3.7

Das Integral von $t^{- 1}$ nach $t$ ist $\ln (| t |)$ .

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - (- t^{- 1} + C_{4} + \ln (| t |) + C_{5})$

Schritt 2.3.8

Vereinfache.

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - (- \frac{1}{t} + \ln (| t |)) + C_{6}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) = - (- \frac{1}{t} + \ln (| t |)) + C$