Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{a x + b}{c x + d}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = \frac{a x + b}{c x + d} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int \frac{a x + b}{c x + d} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int \frac{a x + b}{c x + d} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Sei $u = c x + d$ . Dann ist $d u = c d x$ , folglich $\frac{1}{c} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.1.1

Es sei $u = c x + d$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Differenziere $c x + d$ .

$\frac{d}{d x} [c x + d]$

Schritt 2.3.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $c x + d$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$ .

$\frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$

Schritt 2.3.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [c x]$ .

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Schritt 2.3.1.1.3.1

Da $c$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $c x$ nach $x$ gleich $c \frac{d}{d x} [x]$ .

$c \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [d]$

Schritt 2.3.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$c \cdot 1 + \frac{d}{d x} [d]$

Schritt 2.3.1.1.3.3

Mutltipliziere $c$ mit $1$ .

$c + \frac{d}{d x} [d]$

Schritt 2.3.1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.3.1.1.4.1

Da $d$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $d$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$c + 0$

Schritt 2.3.1.1.4.2

Addiere $c$ und $0$ .

$c$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$y + C_{1} = \int \frac{a (\frac{u}{c} - \frac{d}{c}) + b}{u} \cdot \frac{1}{c} d u$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $\frac{a (\frac{u}{c} - \frac{d}{c}) + b}{u}$ mit $\frac{1}{c}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{a (\frac{u}{c} - \frac{d}{c}) + b}{u c} d u$

Schritt 2.3.3

Da $\frac{1}{c}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{c}$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} \int \frac{a (\frac{u}{c} - \frac{d}{c}) + b}{u} d u$

Schritt 2.3.4

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} \int \frac{a (\frac{u}{c} - \frac{d}{c})}{u} + \frac{b}{u} d u$

Schritt 2.3.5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (\int \frac{a (\frac{u}{c} - \frac{d}{c})}{u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

Schritt 2.3.6

Da $a$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $a$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{\frac{u}{c} - \frac{d}{c}}{u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

Schritt 2.3.7

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{u}{c} - \frac{d}{c}}{u}$ mit $\frac{c}{c}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{c}{c} \cdot \frac{\frac{u}{c} - \frac{d}{c}}{u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

Schritt 2.3.7.2

Kombinieren.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{c (\frac{u}{c} - \frac{d}{c})}{c u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

Schritt 2.3.7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{c \frac{u}{c} + c (- \frac{d}{c})}{c u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

Schritt 2.3.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $c$ .

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Schritt 2.3.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{c \frac{u}{c} + c (- \frac{d}{c})}{c u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

Schritt 2.3.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{u + c (- \frac{d}{c})}{c u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

Schritt 2.3.7.5

Kombiniere $c$ und $\frac{d}{c}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{u - \frac{c d}{c}}{c u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

Schritt 2.3.7.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $c$ .

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Schritt 2.3.7.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{u - \frac{c d}{c}}{c u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

Schritt 2.3.7.6.2

Dividiere $d$ durch $1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{u - d}{c u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

Schritt 2.3.8

Da $\frac{1}{c}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{c}$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} \int \frac{u - d}{u} d u) + \int \frac{b}{u} d u)$

Schritt 2.3.9

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} \int \frac{u}{u} + \frac{- d}{u} d u) + \int \frac{b}{u} d u)$

Schritt 2.3.10

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} (\int \frac{u}{u} d u + \int \frac{- d}{u} d u)) + \int \frac{b}{u} d u)$

Schritt 2.3.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $u$ .

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Schritt 2.3.11.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} (\int \frac{u}{u} d u + \int \frac{- d}{u} d u)) + \int \frac{b}{u} d u)$

Schritt 2.3.11.2

Forme den Ausdruck um.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} (\int d u + \int \frac{- d}{u} d u)) + \int \frac{b}{u} d u)$

Schritt 2.3.12

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} (u + C_{2} + \int \frac{- d}{u} d u)) + \int \frac{b}{u} d u)$

Schritt 2.3.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} (u + C_{2} + \int - \frac{d}{u} d u)) + \int \frac{b}{u} d u)$

Schritt 2.3.14

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} (u + C_{2} - \int \frac{d}{u} d u)) + \int \frac{b}{u} d u)$

Schritt 2.3.15

Da $d$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $d$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} (u + C_{2} - (d \int \frac{1}{u} d u))) + \int \frac{b}{u} d u)$

Schritt 2.3.16

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} (u + C_{2} - (d (\ln (| u |) + C_{3})))) + \int \frac{b}{u} d u)$

Schritt 2.3.17

Kombiniere $\frac{1}{c}$ und $a$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (\frac{a}{c} (u + C_{2} - d (\ln (| u |) + C_{3})) + \int \frac{b}{u} d u)$

Schritt 2.3.18

Da $b$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $b$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (\frac{a}{c} (u + C_{2} - d (\ln (| u |) + C_{3})) + b \int \frac{1}{u} d u)$

Schritt 2.3.19

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (\frac{a}{c} (u + C_{2} - d (\ln (| u |) + C_{3})) + b (\ln (| u |) + C_{4}))$

Schritt 2.3.20

Vereinfache.

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Schritt 2.3.20.1

Vereinfache.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (\frac{a (u - d \ln (| u |))}{c} + b \ln (| u |)) + C_{5}$

Schritt 2.3.20.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.20.2.1

Um $b \ln (| u |)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{c}{c}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (\frac{a (u - d \ln (| u |))}{c} + \frac{b \ln (| u |) c}{c}) + C_{5}$

Schritt 2.3.20.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} \cdot \frac{a (u - d \ln (| u |)) + b \ln (| u |) c}{c} + C_{5}$

Schritt 2.3.20.2.3

Mutltipliziere $\frac{1}{c}$ mit $\frac{a (u - d \ln (| u |)) + b \ln (| u |) c}{c}$ .

$y + C_{1} = \frac{a (u - d \ln (| u |)) + b \ln (| u |) c}{c \cdot c} + C_{5}$

Schritt 2.3.20.2.4

Potenziere $c$ mit $1$ .

$y + C_{1} = \frac{a (u - d \ln (| u |)) + b \ln (| u |) c}{c^{1} c} + C_{5}$

Schritt 2.3.20.2.5

Potenziere $c$ mit $1$ .

$y + C_{1} = \frac{a (u - d \ln (| u |)) + b \ln (| u |) c}{c^{1} c^{1}} + C_{5}$

Schritt 2.3.20.2.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y + C_{1} = \frac{a (u - d \ln (| u |)) + b \ln (| u |) c}{c^{1 + 1}} + C_{5}$

Schritt 2.3.20.2.7

Addiere $1$ und $1$ .

$y + C_{1} = \frac{a (u - d \ln (| u |)) + b \ln (| u |) c}{c^{2}} + C_{5}$

Schritt 2.3.21

Ersetze alle $u$ durch $c x + d$ .

$y + C_{1} = \frac{a (c x + d - d \ln (| c x + d |)) + b \ln (| c x + d |) c}{c^{2}} + C_{5}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$y = \frac{a (c x + d - d \ln (| c x + d |)) + b \ln (| c x + d |) c}{c^{2}} + C$