Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x^{2} + y^{2}}{3 x^{2} + 2 x y}$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als eine Funktion von $\frac{y}{x}$ um.

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Schritt 1.1

Mutltipliziere $\frac{2 x^{2} + y^{2}}{3 x^{2} + 2 x y}$ mit $\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x^{2} + y^{2}}{3 x^{2} + 2 x y} \cdot \frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 1.2

Mutltipliziere $\frac{2 x^{2} + y^{2}}{3 x^{2} + 2 x y}$ mit $\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(2 x^{2} + y^{2}) \frac{1}{x^{2}}}{(3 x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x^{2} \frac{1}{x^{2}} + y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(3 x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 1.4.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \cdot 2 \frac{1}{x^{2}} + y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(3 x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \cdot 2 \frac{1}{x^{2}} + y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(3 x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(3 x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 1.5

Kombiniere $y^{2}$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{(3 x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{3 x^{2} \frac{1}{x^{2}} + 2 x y \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 1.7.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{x^{2} \cdot 3 \frac{1}{x^{2}} + 2 x y \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 1.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{x^{2} \cdot 3 \frac{1}{x^{2}} + 2 x y \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 1.7.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{3 + 2 x y \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 1.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.8.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{3 + x (2 y) \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 1.8.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{3 + x (2 y) \frac{1}{x \cdot x}}$

Schritt 1.8.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{3 + x (2 y) \frac{1}{x \cdot x}}$

Schritt 1.8.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{3 + 2 y \frac{1}{x}}$

Schritt 1.9

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{3 + y \frac{2}{x}}$

Schritt 1.10

Kombiniere $y$ und $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{3 + \frac{y \cdot 2}{x}}$

Schritt 1.11

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{3 + \frac{2 y}{x}}$

Schritt 1.12

Wende die Quotientenregel an $\frac{a^{m}}{b^{m}} = {(\frac{a}{b})}^{m}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + {(\frac{y}{x})}^{2}}{3 + \frac{2 y}{x}}$

Schritt 1.13

Klammere $\frac{y}{x}$ von $\frac{2 y}{x}$ aus.

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Schritt 1.13.1

Faktorisiere $\frac{y}{x}$ aus $\frac{2 y}{x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + {(\frac{y}{x})}^{2}}{3 + \frac{y}{x} \cdot 2}$

Schritt 1.13.2

Stelle $\frac{y}{x}$ und $2$ um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + {(\frac{y}{x})}^{2}}{3 + 2 \cdot \frac{y}{x}}$

Schritt 2

Es gilt $V = \frac{y}{x}$ . Ersetze $V$ für $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + V^{2}}{3 + 2 \cdot V}$

Schritt 3

Löse $V = \frac{y}{x}$ nach $y$ auf.

$y = V x$

Schritt 4

Verwende die Produktregel um die Ableitung von $y = V x$ nach $x$ zu finden.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Schritt 5

Ersetze $\frac{d y}{d x}$ durch $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{2 + V^{2}}{3 + 2 V}$

Schritt 6

Löse die substituierte Differentialgleichung.

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Schritt 6.1

Separiere die Variablen.

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Schritt 6.1.1

Löse nach $\frac{d V}{d x}$ auf.

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Schritt 6.1.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d V}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1.1.1.1

Subtrahiere $V$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2 + V^{2}}{3 + 2 V} - V$

Schritt 6.1.1.1.2

Zerlege den Bruch $\frac{2 + V^{2}}{3 + 2 V}$ in zwei Brüche.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2}{3 + 2 V} + \frac{V^{2}}{3 + 2 V} - V$

Schritt 6.1.1.1.3

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 6.1.1.1.3.1

Schreibe $- V$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2}{3 + 2 V} + \frac{V^{2}}{3 + 2 V} + \frac{- V}{1}$

Schritt 6.1.1.1.3.2

Mutltipliziere $\frac{- V}{1}$ mit $\frac{3 + 2 V}{3 + 2 V}$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2}{3 + 2 V} + \frac{V^{2}}{3 + 2 V} + \frac{- V}{1} \cdot \frac{3 + 2 V}{3 + 2 V}$

Schritt 6.1.1.1.3.3

Mutltipliziere $\frac{- V}{1}$ mit $\frac{3 + 2 V}{3 + 2 V}$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2}{3 + 2 V} + \frac{V^{2}}{3 + 2 V} + \frac{- V (3 + 2 V)}{3 + 2 V}$

Schritt 6.1.1.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2 + V^{2} - V (3 + 2 V)}{2 V + 3}$

Schritt 6.1.1.1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2 + V^{2} - V \cdot 3 - V (2 V)}{2 V + 3}$

Schritt 6.1.1.1.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2 + V^{2} - 3 V - V (2 V)}{2 V + 3}$

Schritt 6.1.1.1.5.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2 + V^{2} - 3 V - 1 \cdot 2 V \cdot V}{2 V + 3}$

Schritt 6.1.1.1.5.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1.1.5.4.1

Multipliziere $V$ mit $V$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1.1.1.5.4.1.1

Bewege $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2 + V^{2} - 3 V - 1 \cdot 2 (V \cdot V)}{2 V + 3}$

Schritt 6.1.1.1.5.4.1.2

Mutltipliziere $V$ mit $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2 + V^{2} - 3 V - 1 \cdot 2 V^{2}}{2 V + 3}$

Schritt 6.1.1.1.5.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2 + V^{2} - 3 V - 2 V^{2}}{2 V + 3}$

Schritt 6.1.1.1.6

Subtrahiere $2 V^{2}$ von $V^{2}$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2 - V^{2} - 3 V}{2 V + 3}$

Schritt 6.1.1.1.7

Stelle die Terme um.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{- V^{2} - 3 V + 2}{2 V + 3}$

Schritt 6.1.1.1.8

Zerlege den Bruch $\frac{- V^{2} - 3 V + 2}{2 V + 3}$ in zwei Brüche.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{- V^{2} - 3 V}{2 V + 3} + \frac{2}{2 V + 3}$

Schritt 6.1.1.1.9

Faktorisiere $V$ aus $- V^{2} - 3 V$ heraus.

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Schritt 6.1.1.1.9.1

Faktorisiere $V$ aus $- V^{2}$ heraus.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V (- V) - 3 V}{2 V + 3} + \frac{2}{2 V + 3}$

Schritt 6.1.1.1.9.2

Faktorisiere $V$ aus $- 3 V$ heraus.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V (- V) + V \cdot - 3}{2 V + 3} + \frac{2}{2 V + 3}$

Schritt 6.1.1.1.9.3

Faktorisiere $V$ aus $V (- V) + V \cdot - 3$ heraus.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V (- V - 3)}{2 V + 3} + \frac{2}{2 V + 3}$

Schritt 6.1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d V}{d x} = \frac{V (- V - 3)}{2 V + 3} + \frac{2}{2 V + 3}$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 6.1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d V}{d x} = \frac{V (- V - 3)}{2 V + 3} + \frac{2}{2 V + 3}$ durch $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V (- V - 3)}{2 V + 3}}{x} + \frac{\frac{2}{2 V + 3}}{x}$

Schritt 6.1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 6.1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V (- V - 3)}{2 V + 3}}{x} + \frac{\frac{2}{2 V + 3}}{x}$

Schritt 6.1.1.2.2.1.2

Dividiere $\frac{d V}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (- V - 3)}{2 V + 3}}{x} + \frac{\frac{2}{2 V + 3}}{x}$

Schritt 6.1.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.1.1.2.3.1

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.1.1.2.3.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (- V - 3)}{2 V + 3} + \frac{2}{2 V + 3}}{x}$

Schritt 6.1.1.2.3.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (- V - 3) + 2}{2 V + 3}}{x}$

Schritt 6.1.1.2.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1.2.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (- V) + V \cdot - 3 + 2}{2 V + 3}}{x}$

Schritt 6.1.1.2.3.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- V \cdot V + V \cdot - 3 + 2}{2 V + 3}}{x}$

Schritt 6.1.1.2.3.2.3

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- V \cdot V - 3 \cdot V + 2}{2 V + 3}}{x}$

Schritt 6.1.1.2.3.2.4

Multipliziere $V$ mit $V$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1.1.2.3.2.4.1

Bewege $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- (V \cdot V) - 3 \cdot V + 2}{2 V + 3}}{x}$

Schritt 6.1.1.2.3.2.4.2

Mutltipliziere $V$ mit $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- V^{2} - 3 \cdot V + 2}{2 V + 3}}{x}$

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- V^{2} - 3 V + 2}{2 V + 3}}{x}$

Schritt 6.1.1.2.3.3

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 6.1.1.2.3.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- V^{2}$ heraus.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- (V^{2}) - 3 V + 2}{2 V + 3}}{x}$

Schritt 6.1.1.2.3.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 V$ heraus.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- (V^{2}) - (3 V) + 2}{2 V + 3}}{x}$

Schritt 6.1.1.2.3.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (V^{2}) - (3 V)$ heraus.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- (V^{2} + 3 V) + 2}{2 V + 3}}{x}$

Schritt 6.1.1.2.3.3.4

Schreibe $2$ als $- 1 (- 2)$ um.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- (V^{2} + 3 V) - 1 (- 2)}{2 V + 3}}{x}$

Schritt 6.1.1.2.3.3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (V^{2} + 3 V) - 1 (- 2)$ heraus.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- (V^{2} + 3 V - 2)}{2 V + 3}}{x}$

Schritt 6.1.1.2.3.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.1.1.2.3.3.6.1

Schreibe $- (V^{2} + 3 V - 2)$ als $- 1 (V^{2} + 3 V - 2)$ um.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- 1 (V^{2} + 3 V - 2)}{2 V + 3}}{x}$

Schritt 6.1.1.2.3.3.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{V^{2} + 3 V - 2}{2 V + 3}}{x}$

Schritt 6.1.1.2.3.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{2} + 3 V - 2}{2 V + 3} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 6.1.1.2.3.5

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $\frac{V^{2} + 3 V - 2}{2 V + 3}$ .

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{2} + 3 V - 2}{x (2 V + 3)}$

Schritt 6.1.2

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{2} + 3 V - 2}{2 V + 3} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 6.1.3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2}$ .

$\frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} (- \frac{V^{2} + 3 V - 2}{2 V + 3} \cdot \frac{1}{x})$

Schritt 6.1.4

Vereinfache.

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Schritt 6.1.4.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} \frac{d V}{d x} = - \frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} (\frac{V^{2} + 3 V - 2}{2 V + 3} \cdot \frac{1}{x})$

Schritt 6.1.4.2

Mutltipliziere $\frac{V^{2} + 3 V - 2}{2 V + 3}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} \frac{d V}{d x} = - \frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} \cdot \frac{V^{2} + 3 V - 2}{(2 V + 3) x}$

Schritt 6.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 V + 3$ .

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Schritt 6.1.4.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2}$ in den Zähler.

$\frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} \frac{d V}{d x} = \frac{- (2 V + 3)}{V^{2} + 3 V - 2} \cdot \frac{V^{2} + 3 V - 2}{(2 V + 3) x}$

Schritt 6.1.4.3.2

Faktorisiere $2 V + 3$ aus $- (2 V + 3)$ heraus.

$\frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} \frac{d V}{d x} = \frac{(2 V + 3) \cdot - 1}{V^{2} + 3 V - 2} \cdot \frac{V^{2} + 3 V - 2}{(2 V + 3) x}$

Schritt 6.1.4.3.3

Faktorisiere $2 V + 3$ aus $(2 V + 3) x$ heraus.

$\frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} \frac{d V}{d x} = \frac{(2 V + 3) \cdot - 1}{V^{2} + 3 V - 2} \cdot \frac{V^{2} + 3 V - 2}{(2 V + 3) (x)}$

Schritt 6.1.4.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} \frac{d V}{d x} = \frac{(2 V + 3) \cdot - 1}{V^{2} + 3 V - 2} \cdot \frac{V^{2} + 3 V - 2}{(2 V + 3) x}$

Schritt 6.1.4.3.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{2} + 3 V - 2} \cdot \frac{V^{2} + 3 V - 2}{x}$

Schritt 6.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $V^{2} + 3 V - 2$ .

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Schritt 6.1.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{2} + 3 V - 2} \cdot \frac{V^{2} + 3 V - 2}{x}$

Schritt 6.1.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x}$

Schritt 6.1.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} d V = - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 6.2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Sei $u = V^{2} + 3 V - 2$ . Dann ist $d u = (2 V + 3) d V$ , folglich $\frac{1}{2 V + 3} d u = d V$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Es sei $u = V^{2} + 3 V - 2$ . Ermittle $\frac{d u}{d V}$ .

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Schritt 6.2.2.1.1.1

Differenziere $V^{2} + 3 V - 2$ .

$\frac{d}{d V} [V^{2} + 3 V - 2]$

Schritt 6.2.2.1.1.2

Differenziere.

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Schritt 6.2.2.1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $V^{2} + 3 V - 2$ nach $V$ $\frac{d}{d V} [V^{2}] + \frac{d}{d V} [3 V] + \frac{d}{d V} [- 2]$ .

$\frac{d}{d V} [V^{2}] + \frac{d}{d V} [3 V] + \frac{d}{d V} [- 2]$

Schritt 6.2.2.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ gleich $n V^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 V + \frac{d}{d V} [3 V] + \frac{d}{d V} [- 2]$

Schritt 6.2.2.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d V} [3 V]$ .

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Schritt 6.2.2.1.1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $V$ ist, ist die Ableitung von $3 V$ nach $V$ gleich $3 \frac{d}{d V} [V]$ .

$2 V + 3 \frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [- 2]$

Schritt 6.2.2.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ gleich $n V^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 V + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d V} [- 2]$

Schritt 6.2.2.1.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$2 V + 3 + \frac{d}{d V} [- 2]$

Schritt 6.2.2.1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 6.2.2.1.1.4.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $V$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $V$ gleich $0$ .

$2 V + 3 + 0$

Schritt 6.2.2.1.1.4.2

Addiere $2 V + 3$ und $0$ .

$2 V + 3$

Schritt 6.2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.2

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $V^{2} + 3 V - 2$ .

$\ln (| V^{2} + 3 V - 2 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 6.2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\ln (| V^{2} + 3 V - 2 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.3.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\ln (| V^{2} + 3 V - 2 |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Schritt 6.2.3.3

Vereinfache.

$\ln (| V^{2} + 3 V - 2 |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Schritt 6.2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| V^{2} + 3 V - 2 |) = - \ln (| x |) + C$

Schritt 7

Ersetze $V$ durch $\frac{y}{x}$ .

$\ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 3 \frac{y}{x} - 2 |) = - \ln (| x |) + C$

Schritt 8

Löse $\ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 3 \frac{y}{x} - 2 |) = - \ln (| x |) + C$ nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 3 (\frac{y}{x}) - 2 |) + \ln (| x |) = C$

Schritt 8.2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 3 (\frac{y}{x}) - 2 | | x |) = C$

Schritt 8.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.3.1

Wende die Produktregel auf $\frac{y}{x}$ an.

$\ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 3 (\frac{y}{x}) - 2 | | x |) = C$

Schritt 8.3.2

Kombiniere $3$ und $\frac{y}{x}$ .

$\ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{3 y}{x} - 2 | | x |) = C$

Schritt 8.4

Um Absolutwerte zu multiplizieren, multipliziere die Terme innerhalb jedes Absolutwerts.

$\ln (| (\frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{3 y}{x} - 2) x |) = C$

Schritt 8.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} \cdot x + \frac{3 y}{x} \cdot x - 2 x |) = C$

Schritt 8.6

Vereinfache.

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Schritt 8.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 8.6.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\ln (| \frac{y^{2}}{x \cdot x} \cdot x + \frac{3 y}{x} \cdot x - 2 x |) = C$

Schritt 8.6.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (| \frac{y^{2}}{x \cdot x} \cdot x + \frac{3 y}{x} \cdot x - 2 x |) = C$

Schritt 8.6.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| \frac{y^{2}}{x} + \frac{3 y}{x} \cdot x - 2 x |) = C$

Schritt 8.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 8.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (| \frac{y^{2}}{x} + \frac{3 y}{x} \cdot x - 2 x |) = C$

Schritt 8.6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| \frac{y^{2}}{x} + 3 y - 2 x |) = C$