Analysis Beispiele

$x d x + \sqrt{a^{2} - x^{2}} d y = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $x d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{a^{2} - x^{2}} d y = - x d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} \sqrt{a^{2} - x^{2}} d y = \frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} (- x) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{a^{2} - x^{2}}$ .

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Schritt 3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} \sqrt{a^{2} - x^{2}} d y = \frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} (- x) d x$

Schritt 3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$1 d y = \frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} (- x) d x$

Schritt 3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$1 d y = - \frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} x d x$

Schritt 3.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = a$ und $b = x$ .

$1 d y = - \frac{1}{\sqrt{(a + x) (a - x)}} x d x$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{(a + x) (a - x)}}$ mit $\frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{\sqrt{(a + x) (a - x)}}$ .

$1 d y = - (\frac{1}{\sqrt{(a + x) (a - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{\sqrt{(a + x) (a - x)}}) x d x$

Schritt 3.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{(a + x) (a - x)}}$ mit $\frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{\sqrt{(a + x) (a - x)}}$ .

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{\sqrt{(a + x) (a - x)} \sqrt{(a + x) (a - x)}} x d x$

Schritt 3.5.2

Potenziere $\sqrt{(a + x) (a - x)}$ mit $1$ .

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{\sqrt{(a + x) (a - x)}}^{1} \sqrt{(a + x) (a - x)}} x d x$

Schritt 3.5.3

Potenziere $\sqrt{(a + x) (a - x)}$ mit $1$ .

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{\sqrt{(a + x) (a - x)}}^{1} {\sqrt{(a + x) (a - x)}}^{1}} x d x$

Schritt 3.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{\sqrt{(a + x) (a - x)}}^{1 + 1}} x d x$

Schritt 3.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{\sqrt{(a + x) (a - x)}}^{2}} x d x$

Schritt 3.5.6

Schreibe ${\sqrt{(a + x) (a - x)}}^{2}$ als $(a + x) (a - x)$ um.

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Schritt 3.5.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{(a + x) (a - x)}$ als ${((a + x) (a - x))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{({((a + x) (a - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} x d x$

Schritt 3.5.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{((a + x) (a - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} x d x$

Schritt 3.5.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{((a + x) (a - x))}^{\frac{2}{2}}} x d x$

Schritt 3.5.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.5.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{((a + x) (a - x))}^{\frac{2}{2}}} x d x$

Schritt 3.5.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{((a + x) (a - x))}^{1}} x d x$

Schritt 3.5.6.5

Vereinfache.

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{(a + x) (a - x)} x d x$

Schritt 3.6

Kombiniere $x$ und $\frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{(a + x) (a - x)}$ .

$1 d y = - \frac{x \sqrt{(a + x) (a - x)}}{(a + x) (a - x)} d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int - \frac{x \sqrt{(a + x) (a - x)}}{(a + x) (a - x)} d x$

Schritt 4.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int - \frac{x \sqrt{(a + x) (a - x)}}{(a + x) (a - x)} d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = - \int \frac{x \sqrt{(a + x) (a - x)}}{(a + x) (a - x)} d x$

Schritt 4.3.2

Sei $u = (a + x) (a - x)$ . Dann ist $d u = - 2 x d x$ , folglich $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.3.2.1

Es sei $u = (a + x) (a - x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.3.2.1.1

Differenziere $(a + x) (a - x)$ .

$\frac{d}{d x} [(a + x) (a - x)]$

Schritt 4.3.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = a + x$ und $g (x) = a - x$ .

$(a + x) \frac{d}{d x} [a - x] + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

Schritt 4.3.2.1.3

Differenziere.

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Schritt 4.3.2.1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $a - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$(a + x) (\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [- x]) + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

Schritt 4.3.2.1.3.2

Da $a$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $a$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(a + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

Schritt 4.3.2.1.3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$(a + x) \frac{d}{d x} [- x] + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

Schritt 4.3.2.1.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(a + x) (- \frac{d}{d x} [x]) + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

Schritt 4.3.2.1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(a + x) (- 1 \cdot 1) + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

Schritt 4.3.2.1.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.2.1.3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$(a + x) \cdot - 1 + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

Schritt 4.3.2.1.3.6.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $a + x$ .

$- 1 \cdot (a + x) + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

Schritt 4.3.2.1.3.6.3

Schreibe $- 1 (a + x)$ als $- (a + x)$ um.

$- (a + x) + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

Schritt 4.3.2.1.3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $a + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (a + x) + (a - x) (\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.3.2.1.3.8

Da $a$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $a$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- (a + x) + (a - x) (0 + \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.3.2.1.3.9

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [x]$ .

$- (a + x) + (a - x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.3.2.1.3.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- (a + x) + (a - x) \cdot 1$

Schritt 4.3.2.1.3.11

Mutltipliziere $a - x$ mit $1$ .

$- (a + x) + a - x$

Schritt 4.3.2.1.4

Vereinfache.

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Schritt 4.3.2.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- a - x + a - x$

Schritt 4.3.2.1.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.3.2.1.4.2.1

Addiere $- a$ und $a$ .

$- x + 0 - x$

Schritt 4.3.2.1.4.2.2

Addiere $- x$ und $0$ .

$- x - x$

Schritt 4.3.2.1.4.2.3

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$- 2 x$

Schritt 4.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$y + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u}}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Schritt 4.3.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u}}{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Schritt 4.3.3.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{u}}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = - \int - \frac{\sqrt{u}}{u \cdot 2} d u$

Schritt 4.3.3.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$y + C_{1} = - \int - \frac{\sqrt{u}}{2 u} d u$

Schritt 4.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = - - \int \frac{\sqrt{u}}{2 u} d u$

Schritt 4.3.5

Vereinfache.

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Schritt 4.3.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y + C_{1} = 1 \int \frac{\sqrt{u}}{2 u} d u$

Schritt 4.3.5.2

Mutltipliziere $\int \frac{\sqrt{u}}{2 u} d u$ mit $1$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\sqrt{u}}{2 u} d u$

Schritt 4.3.6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u}}{u} d u$

Schritt 4.3.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{u} d u$

Schritt 4.3.7.2

Vereinfache.

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Schritt 4.3.7.2.1

Bringe $u^{\frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u \cdot u^{- \frac{1}{2}}} d u$

Schritt 4.3.7.2.2

Multipliziere $u$ mit $u^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.3.7.2.2.1

Mutltipliziere $u$ mit $u^{- \frac{1}{2}}$ .

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Schritt 4.3.7.2.2.1.1

Potenziere $u$ mit $1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{1} u^{- \frac{1}{2}}} d u$

Schritt 4.3.7.2.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{1 - \frac{1}{2}}} d u$

Schritt 4.3.7.2.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u$

Schritt 4.3.7.2.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{2 - 1}{2}}} d u$

Schritt 4.3.7.2.2.4

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Schritt 4.3.7.3

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.3.7.3.1

Bringe $u^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Schritt 4.3.7.3.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.3.7.3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Schritt 4.3.7.3.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Schritt 4.3.7.3.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 4.3.8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Schritt 4.3.9

Vereinfache.

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Schritt 4.3.9.1

Schreibe $\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ als $\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ um.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 4.3.9.2

Vereinfache.

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Schritt 4.3.9.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 4.3.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.9.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + C_{1} = \frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 4.3.9.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y + C_{1} = 1 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 4.3.9.2.3

Mutltipliziere $u^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$y + C_{1} = u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 4.3.10

Ersetze alle $u$ durch $(a + x) (a - x)$ .

$y + C_{1} = {((a + x) (a - x))}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = {((a + x) (a - x))}^{\frac{1}{2}} + K$