Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x + 1)}{2 x}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2} \cdot \frac{x + 1}{x}$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{2}{y}$ .

$\frac{2}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (\frac{y}{2} \cdot \frac{x + 1}{x})$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $\frac{y}{2}$ mit $\frac{x + 1}{x}$ .

$\frac{2}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} \cdot \frac{y (x + 1)}{2 x}$

Schritt 1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{2}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} \cdot \frac{y (x + 1)}{2 (x)}$

Schritt 1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} \cdot \frac{y (x + 1)}{2 x}$

Schritt 1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y (x + 1)}{x}$

Schritt 1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y (x + 1)}{x}$

Schritt 1.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{x + 1}{x}$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{2}{y} d y = \frac{x + 1}{x} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{2}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$2 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Schritt 2.2.3

Vereinfache.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x}{x} + \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int d x + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3.4

Wende die Konstantenregel an.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3.5

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$2 \ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + \ln (| x |) + C_{3}$

Schritt 2.3.6

Vereinfache.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = x + \ln (| x |) + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$2 \ln (| y |) = x + \ln (| x |) + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$2 \ln (| y |) - \ln (| x |) = x + C$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache $2 \ln (| y |) - \ln (| x |)$ .

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1.1

Vereinfache $2 \ln (| y |)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln ({| y |}^{2}) - \ln (| x |) = x + C$

Schritt 3.2.1.1.2

Entferne den Absolutwert in ${| y |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$\ln (y^{2}) - \ln (| x |) = x + C$

Schritt 3.2.1.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{y^{2}}{| x |}) = x + C$

Schritt 3.3

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (\frac{y^{2}}{| x |})} = e^{x + C}$

Schritt 3.4

Schreibe $\ln (\frac{y^{2}}{| x |}) = x + C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{x + C} = \frac{y^{2}}{| x |}$

Schritt 3.5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.5.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{y^{2}}{| x |} = e^{x + C}$ um.

$\frac{y^{2}}{| x |} = e^{x + C}$

Schritt 3.5.2

Multipliziere beide Seiten mit $| x |$ .

$\frac{y^{2}}{| x |} | x | = e^{x + C} | x |$

Schritt 3.5.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $| x |$ .

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Schritt 3.5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{2}}{| x |} | x | = e^{x + C} | x |$

Schritt 3.5.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = e^{x + C} | x |$

Schritt 3.5.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.5.4.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{e^{x + C} | x |}$

Schritt 3.5.4.2

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.5.4.2.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \sqrt{e^{x + C} | x |}$

Schritt 3.5.4.2.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

Schritt 3.5.4.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Schreibe $e^{x + C}$ als $e^{x} e^{C}$ um.

$y = \sqrt{e^{x} e^{C} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

Schritt 4.2

Stelle $e^{x}$ und $e^{C}$ um.

$y = \sqrt{e^{C} e^{x} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

Schritt 4.3

Schreibe $e^{x + C}$ als $e^{x} e^{C}$ um.

$y = \sqrt{e^{C} e^{x} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x} e^{C} | x |}$

Schritt 4.4

Stelle $e^{x}$ und $e^{C}$ um.

$y = \sqrt{e^{C} e^{x} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{C} e^{x} | x |}$

$y = \sqrt{e^{C} e^{x} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{C} e^{x} | x |}$