Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{20 - x} y = 4$

Schritt 1

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = \frac{2}{20 - x}$ gilt.

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Schritt 1.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int \frac{2}{20 - x} d x}$

Schritt 1.2

Integriere $\frac{2}{20 - x}$ .

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Schritt 1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$e^{2 \int \frac{1}{20 - x} d x}$

Schritt 1.2.2

Sei $u = 20 - x$ . Dann ist $d u = - d x$ , folglich $- d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.2.2.1

Es sei $u = 20 - x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.2.2.1.1

Forme um.

$\frac{- 1}{1}$

Schritt 1.2.2.1.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- 1$

Schritt 1.2.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$e^{2 \int \frac{- 1}{u} d u}$

Schritt 1.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e^{2 \int - \frac{1}{u} d u}$

Schritt 1.2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{2 (- \int \frac{1}{u} d u)}$

Schritt 1.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{u} d u}$

Schritt 1.2.6

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| u |) + C)}$

Schritt 1.2.7

Vereinfache.

$e^{- 2 \ln (| u |) + C}$

Schritt 1.2.8

Ersetze alle $u$ durch $20 - x$ .

$e^{- 2 \ln (| 20 - x |) + C}$

Schritt 1.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{- 2 \ln (20 - x)}$

Schritt 1.4

Verwende die Potenzregel des Logarithmus.

$e^{\ln ({(20 - x)}^{- 2})}$

Schritt 1.5

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

${(20 - x)}^{- 2}$

Schritt 1.6

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}}$

Schritt 2

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\frac{1}{{(20 - x)}^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\frac{1}{{(20 - x)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} (\frac{2}{20 - x} y) = \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} \cdot 4$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1

Kombiniere $\frac{1}{{(20 - x)}^{2}}$ und $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(20 - x)}^{2}} + \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} (\frac{2}{20 - x} y) = \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} \cdot 4$

Schritt 2.2.2

Kombiniere $\frac{2}{20 - x}$ und $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(20 - x)}^{2}} + \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} \cdot \frac{2 y}{20 - x} = \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} \cdot 4$

Schritt 2.2.3

Multipliziere $\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} \cdot \frac{2 y}{20 - x}$ .

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Schritt 2.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{{(20 - x)}^{2}}$ mit $\frac{2 y}{20 - x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(20 - x)}^{2}} + \frac{2 y}{{(20 - x)}^{2} (20 - x)} = \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} \cdot 4$

Schritt 2.2.3.2

Multipliziere ${(20 - x)}^{2}$ mit $20 - x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.3.2.1

Mutltipliziere ${(20 - x)}^{2}$ mit $20 - x$ .

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Schritt 2.2.3.2.1.1

Potenziere $20 - x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(20 - x)}^{2}} + \frac{2 y}{{(20 - x)}^{2} {(20 - x)}^{1}} = \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} \cdot 4$

Schritt 2.2.3.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(20 - x)}^{2}} + \frac{2 y}{{(20 - x)}^{2 + 1}} = \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} \cdot 4$

Schritt 2.2.3.2.2

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(20 - x)}^{2}} + \frac{2 y}{{(20 - x)}^{3}} = \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} \cdot 4$

Schritt 2.3

Kombiniere $\frac{1}{{(20 - x)}^{2}}$ und $4$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(20 - x)}^{2}} + \frac{2 y}{{(20 - x)}^{3}} = \frac{4}{{(20 - x)}^{2}}$

Schritt 3

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y] = \frac{4}{{(20 - x)}^{2}}$

Schritt 4

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y] d x = \int \frac{4}{{(20 - x)}^{2}} d x$

Schritt 5

Integriere die linke Seite.

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = \int \frac{4}{{(20 - x)}^{2}} d x$

Schritt 6

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 6.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = 4 \int \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} d x$

Schritt 6.2

Sei $u = 20 - x$ . Dann ist $d u = - d x$ , folglich $- d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.2.1

Es sei $u = 20 - x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 6.2.1.1

Forme um.

$\frac{- 1}{1}$

Schritt 6.2.1.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- 1$

Schritt 6.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = 4 \int \frac{- 1}{u^{2}} d u$

Schritt 6.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = 4 \int - \frac{1}{u^{2}} d u$

Schritt 6.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = 4 (- \int \frac{1}{u^{2}} d u)$

Schritt 6.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = - 4 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Schritt 6.5.2

Bringe $u^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = - 4 \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Schritt 6.5.3

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 6.5.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = - 4 \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Schritt 6.5.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = - 4 \int u^{- 2} d u$

Schritt 6.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- 2}$ nach $u$ gleich $- u^{- 1}$ .

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = - 4 (- u^{- 1} + C)$

Schritt 6.7

Vereinfache.

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Schritt 6.7.1

Schreibe $- 4 (- u^{- 1} + C)$ als $- 4 (- \frac{1}{u}) + C$ um.

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = - 4 (- \frac{1}{u}) + C$

Schritt 6.7.2

Vereinfache.

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Schritt 6.7.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = 4 \frac{1}{u} + C$

Schritt 6.7.2.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = \frac{4}{u} + C$

Schritt 6.8

Ersetze alle $u$ durch $20 - x$ .

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = \frac{4}{20 - x} + C$

Schritt 7

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 7.1

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 7.1.1

Subtrahiere $\frac{4}{20 - x}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y - \frac{4}{20 - x} = C$

Schritt 7.1.2

Subtrahiere $C$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y - \frac{4}{20 - x} - C = 0$

Schritt 7.1.3

Kombiniere $\frac{1}{{(20 - x)}^{2}}$ und $y$ .

$\frac{y}{{(20 - x)}^{2}} - \frac{4}{20 - x} - C = 0$

Schritt 7.1.4

Um $- \frac{4}{20 - x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{20 - x}{20 - x}$ .

$\frac{y}{{(20 - x)}^{2}} - \frac{4}{20 - x} \cdot \frac{20 - x}{20 - x} - C = 0$

Schritt 7.1.5

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von ${(20 - x)}^{2}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 7.1.5.1

Mutltipliziere $\frac{4}{20 - x}$ mit $\frac{20 - x}{20 - x}$ .

$\frac{y}{{(20 - x)}^{2}} - \frac{4 (20 - x)}{(20 - x) (20 - x)} - C = 0$

Schritt 7.1.5.2

Potenziere $20 - x$ mit $1$ .

$\frac{y}{{(20 - x)}^{2}} - \frac{4 (20 - x)}{{(20 - x)}^{1} (20 - x)} - C = 0$

Schritt 7.1.5.3

Potenziere $20 - x$ mit $1$ .

$\frac{y}{{(20 - x)}^{2}} - \frac{4 (20 - x)}{{(20 - x)}^{1} {(20 - x)}^{1}} - C = 0$

Schritt 7.1.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{y}{{(20 - x)}^{2}} - \frac{4 (20 - x)}{{(20 - x)}^{1 + 1}} - C = 0$

Schritt 7.1.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{y}{{(20 - x)}^{2}} - \frac{4 (20 - x)}{{(20 - x)}^{2}} - C = 0$

Schritt 7.1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{y - 4 (20 - x)}{{(20 - x)}^{2}} - C = 0$

Schritt 7.1.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y - 4 \cdot 20 - 4 (- x)}{{(20 - x)}^{2}} - C = 0$

Schritt 7.1.7.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $20$ .

$\frac{y - 80 - 4 (- x)}{{(20 - x)}^{2}} - C = 0$

Schritt 7.1.7.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$\frac{y - 80 + 4 x}{{(20 - x)}^{2}} - C = 0$

Schritt 7.1.8

Um $- C$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(20 - x)}^{2}}{{(20 - x)}^{2}}$ .

$\frac{y - 80 + 4 x}{{(20 - x)}^{2}} - C \cdot \frac{{(20 - x)}^{2}}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Schritt 7.1.9

Kombiniere $- C$ und $\frac{{(20 - x)}^{2}}{{(20 - x)}^{2}}$ .

$\frac{y - 80 + 4 x}{{(20 - x)}^{2}} + \frac{- C {(20 - x)}^{2}}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Schritt 7.1.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{y - 80 + 4 x - C {(20 - x)}^{2}}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Schritt 7.1.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.11.1

Schreibe ${(20 - x)}^{2}$ als $(20 - x) (20 - x)$ um.

$\frac{y - 80 + 4 x - C ((20 - x) (20 - x))}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Schritt 7.1.11.2

Multipliziere $(20 - x) (20 - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 7.1.11.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y - 80 + 4 x - C (20 (20 - x) - x (20 - x))}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Schritt 7.1.11.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y - 80 + 4 x - C (20 \cdot 20 + 20 (- x) - x (20 - x))}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Schritt 7.1.11.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y - 80 + 4 x - C (20 \cdot 20 + 20 (- x) - x \cdot 20 - x (- x))}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Schritt 7.1.11.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 7.1.11.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1.11.3.1.1

Mutltipliziere $20$ mit $20$ .

$\frac{y - 80 + 4 x - C (400 + 20 (- x) - x \cdot 20 - x (- x))}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Schritt 7.1.11.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $20$ .

$\frac{y - 80 + 4 x - C (400 - 20 x - x \cdot 20 - x (- x))}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Schritt 7.1.11.3.1.3

Mutltipliziere $20$ mit $- 1$ .

$\frac{y - 80 + 4 x - C (400 - 20 x - 20 x - x (- x))}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Schritt 7.1.11.3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{y - 80 + 4 x - C (400 - 20 x - 20 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x)}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Schritt 7.1.11.3.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.1.11.3.1.5.1

Bewege $x$ .

$\frac{y - 80 + 4 x - C (400 - 20 x - 20 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x))}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Schritt 7.1.11.3.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{y - 80 + 4 x - C (400 - 20 x - 20 x - 1 \cdot - 1 x^{2})}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Schritt 7.1.11.3.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{y - 80 + 4 x - C (400 - 20 x - 20 x + 1 x^{2})}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Schritt 7.1.11.3.1.7

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$\frac{y - 80 + 4 x - C (400 - 20 x - 20 x + x^{2})}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Schritt 7.1.11.3.2

Subtrahiere $20 x$ von $- 20 x$ .

$\frac{y - 80 + 4 x - C (400 - 40 x + x^{2})}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Schritt 7.1.11.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y - 80 + 4 x - C \cdot 400 - C (- 40 x) - C x^{2}}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Schritt 7.1.11.5

Vereinfache.

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Schritt 7.1.11.5.1

Mutltipliziere $400$ mit $- 1$ .

$\frac{y - 80 + 4 x - 400 C - C (- 40 x) - C x^{2}}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Schritt 7.1.11.5.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{y - 80 + 4 x - 400 C - 1 \cdot - 40 C x - C x^{2}}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Schritt 7.1.11.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 40$ .

$\frac{y - 80 + 4 x - 400 C + 40 C x - C x^{2}}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Schritt 7.2

Setze den Zähler gleich Null.

$y - 80 + 4 x - 400 C + 40 C x - C x^{2} = 0$

Schritt 7.3

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 7.3.1

Addiere $80$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y + 4 x - 400 C + 40 C x - C x^{2} = 80$

Schritt 7.3.2

Subtrahiere $4 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y - 400 C + 40 C x - C x^{2} = 80 - 4 x$

Schritt 7.3.3

Addiere $400 C$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y + 40 C x - C x^{2} = 80 - 4 x + 400 C$

Schritt 7.3.4

Subtrahiere $40 C x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y - C x^{2} = 80 - 4 x + 400 C - 40 C x$

Schritt 7.3.5

Addiere $C x^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 80 - 4 x + 400 C - 40 C x + C x^{2}$