Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = a (b - y)$

Schritt 1

Es sei $v = b - y$ . Ersetze $v$ für alle $b - y$ .

$\frac{d y}{d x} = a v$

Schritt 2

Finde $\frac{d v}{d x}$ durch Differenzierung von $b - y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $b - y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [b] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d x} [b] + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 2.2

Da $b$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $b$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{d v}{d x} = 0 + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- y]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d v}{d x} = 0 - \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{d v}{d x} = 0 - y'$

Schritt 2.4

Subtrahiere $y'$ von $0$ .

$\frac{d v}{d x} = - y'$

Schritt 3

Setze die Ableitung wieder in die Differentialgleichung ein.

$- \frac{d v}{d x} = a v$

Schritt 4

Separiere die Variablen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{v}$ .

$\frac{1}{v} (- \frac{d v}{d x}) = \frac{1}{v} (a v)$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $v$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Faktorisiere $v$ aus $a v$ heraus.

$\frac{1}{v} (- \frac{d v}{d x}) = \frac{1}{v} (v a)$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{v} (- \frac{d v}{d x}) = \frac{1}{v} (v a)$

Schritt 4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{v} (- \frac{d v}{d x}) = a$

Schritt 4.3

Entferne unnötige Klammern.

$\frac{1}{v} \cdot - 1 \frac{d v}{d x} = a$

Schritt 4.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{v} \cdot - 1 d v = a d x$

Schritt 5

Integriere beide Seiten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{v} \cdot - 1 d v = \int a d x$

Schritt 5.2

Integriere die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1

Kombiniere $\frac{1}{v}$ und $- 1$ .

$\int \frac{- 1}{v} d v = \int a d x$

Schritt 5.2.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int - \frac{1}{v} d v = \int a d x$

Schritt 5.2.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $v$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{1}{v} d v = \int a d x$

Schritt 5.2.3

Das Integral von $\frac{1}{v}$ nach $v$ ist $\ln (| v |)$ .

$- (\ln (| v |) + C_{1}) = \int a d x$

Schritt 5.2.4

Vereinfache.

$- \ln (| v |) + C_{1} = \int a d x$

Schritt 5.3

Wende die Konstantenregel an.

$- \ln (| v |) + C_{1} = a x + C_{2}$

Schritt 5.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$- \ln (| v |) = a x + C$

Schritt 6

Löse nach $v$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Teile jeden Ausdruck in $- \ln (| v |) = a x + C$ durch $- 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1

Teile jeden Ausdruck in $- \ln (| v |) = a x + C$ durch $- 1$ .

$\frac{- \ln (| v |)}{- 1} = \frac{a x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Schritt 6.1.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\ln (| v |)}{1} = \frac{a x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Schritt 6.1.2.2

Dividiere $\ln (| v |)$ durch $1$ .

$\ln (| v |) = \frac{a x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Schritt 6.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{a x}{- 1}$ .

$\ln (| v |) = - 1 \cdot (a x) + \frac{C}{- 1}$

Schritt 6.1.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot (a x)$ als $- (a x)$ um.

$\ln (| v |) = - (a x) + \frac{C}{- 1}$

Schritt 6.1.3.1.3

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| v |) = - a x - 1 \cdot C$

Schritt 6.1.3.1.4

Schreibe $- 1 \cdot C$ als $- C$ um.

$\ln (| v |) = - a x - C$

Schritt 6.2

Um nach $v$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| v |)} = e^{- a x - C}$

Schritt 6.3

Schreibe $\ln (| v |) = - a x - C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- a x - C} = | v |$

Schritt 6.4

Löse nach $v$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.1

Schreibe die Gleichung als $| v | = e^{- a x - C}$ um.

$| v | = e^{- a x - C}$

Schritt 6.4.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$v = \pm e^{- a x - C}$

Schritt 7

Gruppiere die konstanten Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Vereinfache die Konstante der Integration.

$v = \pm e^{- a x + C}$

Schritt 7.2

Schreibe $e^{- a x + C}$ als $e^{- a x} e^{C}$ um.

$v = \pm e^{- a x} e^{C}$

Schritt 7.3

Stelle $e^{- a x}$ und $e^{C}$ um.

$v = \pm e^{C} e^{- a x}$

Schritt 7.4

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$v = C e^{- a x}$

Schritt 8

Ersetze alle $v$ durch $b - y$ .

$b - y = C e^{- a x}$

Schritt 9

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Subtrahiere $b$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y = C e^{- a x} - b$

Schritt 9.2

Teile jeden Ausdruck in $- y = C e^{- a x} - b$ durch $- 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- y = C e^{- a x} - b$ durch $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{C e^{- a x}}{- 1} + \frac{- b}{- 1}$

Schritt 9.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y}{1} = \frac{C e^{- a x}}{- 1} + \frac{- b}{- 1}$

Schritt 9.2.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{C e^{- a x}}{- 1} + \frac{- b}{- 1}$

Schritt 9.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{C e^{- a x}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (C e^{- a x}) + \frac{- b}{- 1}$

Schritt 9.2.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot (C e^{- a x})$ als $- (C e^{- a x})$ um.

$y = - (C e^{- a x}) + \frac{- b}{- 1}$

Schritt 9.2.3.1.3

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y = - C e^{- a x} + \frac{b}{1}$

Schritt 9.2.3.1.4

Dividiere $b$ durch $1$ .

$y = - C e^{- a x} + b$

Schritt 10

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = C e^{- a x} + b$