Analysis Beispiele

Löse die Differntialgleichung. (dy)/(dx)=a(b-y)
Schritt 1
Es sei . Ersetze für alle .
Schritt 2
Finde durch Differenzierung von .
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Schritt 2.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 2.2
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 2.3
Berechne .
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Schritt 2.3.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 2.3.2
Schreibe als um.
Schritt 2.4
Subtrahiere von .
Schritt 3
Setze die Ableitung wieder in die Differentialgleichung ein.
Schritt 4
Separiere die Variablen.
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Schritt 4.1
Multipliziere beide Seiten mit .
Schritt 4.2
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 4.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.3
Entferne unnötige Klammern.
Schritt 4.4
Schreibe die Gleichung um.
Schritt 5
Integriere beide Seiten.
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Schritt 5.1
Integriere auf beiden Seiten.
Schritt 5.2
Integriere die linke Seite.
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Schritt 5.2.1
Vereinfache.
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Schritt 5.2.1.1
Kombiniere und .
Schritt 5.2.1.2
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 5.2.2
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 5.2.3
Das Integral von nach ist .
Schritt 5.2.4
Vereinfache.
Schritt 5.3
Wende die Konstantenregel an.
Schritt 5.4
Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als zusammen.
Schritt 6
Löse nach auf.
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Schritt 6.1
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
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Schritt 6.1.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 6.1.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 6.1.2.1
Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.
Schritt 6.1.2.2
Dividiere durch .
Schritt 6.1.3
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 6.1.3.1
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 6.1.3.1.1
Bringe die negative Eins aus dem Nenner von .
Schritt 6.1.3.1.2
Schreibe als um.
Schritt 6.1.3.1.3
Bringe die negative Eins aus dem Nenner von .
Schritt 6.1.3.1.4
Schreibe als um.
Schritt 6.2
Um nach aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.
Schritt 6.3
Schreibe in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn und positive reelle Zahlen sind und ist, dann ist gleich .
Schritt 6.4
Löse nach auf.
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Schritt 6.4.1
Schreibe die Gleichung als um.
Schritt 6.4.2
Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein auf der rechten Seite der Gleichung, da .
Schritt 7
Gruppiere die konstanten Terme.
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Schritt 7.1
Vereinfache die Konstante der Integration.
Schritt 7.2
Schreibe als um.
Schritt 7.3
Stelle und um.
Schritt 7.4
Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.
Schritt 8
Ersetze alle durch .
Schritt 9
Löse nach auf.
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Schritt 9.1
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 9.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
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Schritt 9.2.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 9.2.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 9.2.2.1
Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.
Schritt 9.2.2.2
Dividiere durch .
Schritt 9.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 9.2.3.1
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 9.2.3.1.1
Bringe die negative Eins aus dem Nenner von .
Schritt 9.2.3.1.2
Schreibe als um.
Schritt 9.2.3.1.3
Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.
Schritt 9.2.3.1.4
Dividiere durch .
Schritt 10
Vereinfache die Konstante der Integration.