Analysis Beispiele

$x \frac{d y}{d x} - y = x^{2} \sin (3 x)$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ um.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d y}{d x} - y = x^{2} \sin (3 x)$ durch $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- y}{x} = \frac{x^{2} \sin (3 x)}{x}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- y}{x} = \frac{x^{2} \sin (3 x)}{x}$

Schritt 1.2.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x^{2} \sin (3 x)}{x}$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 1.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} \sin (3 x)$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x (x \sin (3 x))}{x}$

Schritt 1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x (x \sin (3 x))}{x^{1}}$

Schritt 1.3.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x (x \sin (3 x))}{x \cdot 1}$

Schritt 1.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x (x \sin (3 x))}{x \cdot 1}$

Schritt 1.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x \sin (3 x)}{1}$

Schritt 1.3.2.5

Dividiere $x \sin (3 x)$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = x \sin (3 x)$

Schritt 1.4

Faktorisiere $y$ aus $\frac{- y}{x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 1}{x} = x \sin (3 x)$

Schritt 1.5

Stelle $y$ und $\frac{- 1}{x}$ um.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 1}{x} y = x \sin (3 x)$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = \frac{- 1}{x}$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int \frac{- 1}{x} d x}$

Schritt 2.2

Integriere $\frac{- 1}{x}$ .

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Schritt 2.2.1

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Schritt 2.2.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 2.2.3

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Schritt 2.2.4

Vereinfache.

$e^{- \ln (| x |) + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{- \ln (x)}$

Schritt 2.4

Verwende die Potenzregel des Logarithmus.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

Schritt 2.5

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$x^{- 1}$

Schritt 2.6

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\frac{1}{x}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (\frac{- 1}{x} y) = \frac{1}{x} (x \sin (3 x))$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (\frac{- 1}{x} y) = \frac{1}{x} (x \sin (3 x))$

Schritt 3.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (x \sin (3 x))$

Schritt 3.2.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (x \sin (3 x))$

Schritt 3.2.4

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} (x \sin (3 x))$

Schritt 3.2.5

Multipliziere $- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}$ .

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Schritt 3.2.5.1

Mutltipliziere $\frac{y}{x}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} (x \sin (3 x))$

Schritt 3.2.5.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} (x \sin (3 x))$

Schritt 3.2.5.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} (x \sin (3 x))$

Schritt 3.2.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} (x \sin (3 x))$

Schritt 3.2.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (x \sin (3 x))$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x \sin (3 x)$ heraus.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (x (\sin (3 x)))$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (x \sin (3 x))$

Schritt 3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \sin (3 x)$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] = \sin (3 x)$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] d x = \int \sin (3 x) d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$\frac{1}{x} y = \int \sin (3 x) d x$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Sei $u = 3 x$ . Dann ist $d u = 3 d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 7.1.1

Es sei $u = 3 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 7.1.1.1

Differenziere $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 7.1.1.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 7.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Schritt 7.1.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3$

Schritt 7.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{1}{x} y = \int \sin (u) \frac{1}{3} d u$

Schritt 7.2

Kombiniere $\sin (u)$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{x} y = \int \frac{\sin (u)}{3} d u$

Schritt 7.3

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{x} y = \frac{1}{3} \int \sin (u) d u$

Schritt 7.4

Das Integral von $\sin (u)$ nach $u$ ist $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{x} y = \frac{1}{3} (- \cos (u) + C)$

Schritt 7.5

Vereinfache.

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Schritt 7.5.1

Vereinfache.

$\frac{1}{x} y = \frac{1}{3} (- \cos (u)) + C$

Schritt 7.5.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\cos (u)$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\cos (u)}{3} + C$

Schritt 7.6

Ersetze alle $u$ durch $3 x$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\cos (3 x)}{3} + C$

Schritt 7.7

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{x} y = - \frac{1}{3} \cos (3 x) + C$

Schritt 8

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.1.1

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $y$ .

$\frac{y}{x} = - \frac{1}{3} \cos (3 x) + C$

Schritt 8.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.1

Kombiniere $\cos (3 x)$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{y}{x} = - \frac{\cos (3 x)}{3} + C$

Schritt 8.3

Multipliziere beide Seiten mit $x$ .

$\frac{y}{x} x = (- \frac{\cos (3 x)}{3} + C) x$

Schritt 8.4

Vereinfache.

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Schritt 8.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 8.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{x} x = (- \frac{\cos (3 x)}{3} + C) x$

Schritt 8.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = (- \frac{\cos (3 x)}{3} + C) x$

Schritt 8.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.4.2.1

Vereinfache $(- \frac{\cos (3 x)}{3} + C) x$ .

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Schritt 8.4.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - \frac{\cos (3 x)}{3} x + C x$

Schritt 8.4.2.1.2

Kombiniere $x$ und $\frac{\cos (3 x)}{3}$ .

$y = - \frac{x \cos (3 x)}{3} + C x$

Schritt 8.4.2.1.3

Stelle $- \frac{x \cos (3 x)}{3}$ und $C x$ um.

$y = C x - \frac{x \cos (3 x)}{3}$