Analysis Beispiele

$2 \frac{d y}{d x} + 3 y = e^{- x}$ , $y (0) = 5$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \frac{d y}{d x} + 3 y = e^{- x}$ durch $2$ .

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} + \frac{3 y}{2} = \frac{e^{- x}}{2}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} + \frac{3 y}{2} = \frac{e^{- x}}{2}$

Schritt 1.2.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{2} = \frac{e^{- x}}{2}$

Schritt 1.3

Stelle die Terme um.

$\frac{d y}{d x} + \frac{3}{2} y = \frac{1}{2} e^{- x}$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = \frac{3}{2}$ gilt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int \frac{3}{2} d x}$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$e^{\frac{3}{2} x + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{\frac{3}{2} x}$

Schritt 2.4

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $x$ .

$e^{\frac{3 x}{2}}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{\frac{3 x}{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{\frac{3 x}{2}}$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{3 x}{2}} (\frac{3}{2} y) = e^{\frac{3 x}{2}} (\frac{1}{2} e^{- x})$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3}{2} e^{\frac{3 x}{2}} y = e^{\frac{3 x}{2}} (\frac{1}{2} e^{- x})$

Schritt 3.2.2

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $e^{\frac{3 x}{2}}$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}}}{2} y = e^{\frac{3 x}{2}} (\frac{1}{2} e^{- x})$

Schritt 3.2.3

Kombiniere $\frac{3 e^{\frac{3 x}{2}}}{2}$ und $y$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = e^{\frac{3 x}{2}} (\frac{1}{2} e^{- x})$

Schritt 3.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} e^{\frac{3 x}{2}} e^{- x}$

Schritt 3.4

Multipliziere $e^{\frac{3 x}{2}}$ mit $e^{- x}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Bewege $e^{- x}$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} (e^{- x} e^{\frac{3 x}{2}})$

Schritt 3.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} e^{- x + \frac{3 x}{2}}$

Schritt 3.4.3

Um $- x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} e^{- x \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 x}{2}}$

Schritt 3.4.4

Kombiniere $- x$ und $\frac{2}{2}$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} e^{\frac{- x \cdot 2}{2} + \frac{3 x}{2}}$

Schritt 3.4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} e^{\frac{- x \cdot 2 + 3 x}{2}}$

Schritt 3.4.6

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.6.1

Faktorisiere $x$ aus $- x \cdot 2 + 3 x$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.6.1.1

Faktorisiere $x$ aus $- x \cdot 2$ heraus.

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} e^{\frac{x (- 1 \cdot 2) + 3 x}{2}}$

Schritt 3.4.6.1.2

Faktorisiere $x$ aus $3 x$ heraus.

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} e^{\frac{x (- 1 \cdot 2) + x \cdot 3}{2}}$

Schritt 3.4.6.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x (- 1 \cdot 2) + x \cdot 3$ heraus.

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} e^{\frac{x (- 1 \cdot 2 + 3)}{2}}$

Schritt 3.4.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} e^{\frac{x (- 2 + 3)}{2}}$

Schritt 3.4.6.3

Addiere $- 2$ und $3$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} e^{\frac{x \cdot 1}{2}}$

Schritt 3.4.7

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} e^{\frac{x}{2}}$

Schritt 3.5

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{\frac{x}{2}}$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$

Schritt 3.6

Stelle die Faktoren in $e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$ um.

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 y e^{\frac{3 x}{2}}}{2} = \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{3 x}{2}} y] = \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{\frac{3 x}{2}} y] d x = \int \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$e^{\frac{3 x}{2}} y = \int \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} d x$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$e^{\frac{3 x}{2}} y = \frac{1}{2} \int e^{\frac{x}{2}} d x$

Schritt 7.2

Sei $u = \frac{x}{2}$ . Dann ist $d u = \frac{1}{2} d x$ , folglich $2 d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Es sei $u = \frac{x}{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1.1

Differenziere $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Schritt 7.2.1.2

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 7.2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Schritt 7.2.1.4

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2}$

Schritt 7.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$e^{\frac{3 x}{2}} y = \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 7.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.1

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{2}$ zu dividieren.

$e^{\frac{3 x}{2}} y = \frac{1}{2} \int e^{u} (1 \cdot 2) d u$

Schritt 7.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} y = \frac{1}{2} \int e^{u} \cdot 2 d u$

Schritt 7.3.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{u}$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} y = \frac{1}{2} \int 2 e^{u} d u$

Schritt 7.4

Da $2$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$e^{\frac{3 x}{2}} y = \frac{1}{2} (2 \int e^{u} d u)$

Schritt 7.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.5.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} y = \frac{2}{2} \int e^{u} d u$

Schritt 7.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{\frac{3 x}{2}} y = \frac{2}{2} \int e^{u} d u$

Schritt 7.5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{\frac{3 x}{2}} y = 1 \int e^{u} d u$

Schritt 7.5.3

Mutltipliziere $\int e^{u} d u$ mit $1$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} y = \int e^{u} d u$

Schritt 7.6

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} y = e^{u} + C$

Schritt 7.7

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x}{2}$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} y = e^{\frac{x}{2}} + C$

Schritt 7.8

Stelle die Terme um.

$e^{\frac{3 x}{2}} y = e^{\frac{1}{2} x} + C$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $e^{\frac{3 x}{2}} y = e^{\frac{1}{2} x} + C$ durch $e^{\frac{3 x}{2}}$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{\frac{3 x}{2}} y = e^{\frac{1}{2} x} + C$ durch $e^{\frac{3 x}{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{3 x}{2}} y}{e^{\frac{3 x}{2}}} = \frac{e^{\frac{1}{2} x}}{e^{\frac{3 x}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{\frac{3 x}{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{\frac{3 x}{2}} y}{e^{\frac{3 x}{2}}} = \frac{e^{\frac{1}{2} x}}{e^{\frac{3 x}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{e^{\frac{1}{2} x}}{e^{\frac{3 x}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $e^{\frac{1}{2} x}$ und $e^{\frac{3 x}{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1.1.1

Faktorisiere $e^{\frac{3 x}{2}}$ aus $e^{\frac{1}{2} x}$ heraus.

$y = \frac{e^{\frac{3 x}{2}} e^{\frac{\frac{1}{2} x \cdot 2 - 3 x}{2}}}{e^{\frac{3 x}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Schritt 8.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1.1.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$y = \frac{e^{\frac{3 x}{2}} e^{\frac{\frac{1}{2} x \cdot 2 - 3 x}{2}}}{e^{\frac{3 x}{2}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Schritt 8.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{e^{\frac{3 x}{2}} e^{\frac{\frac{1}{2} x \cdot 2 - 3 x}{2}}}{e^{\frac{3 x}{2}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Schritt 8.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{e^{\frac{\frac{1}{2} x \cdot 2 - 3 x}{2}}}{1} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Schritt 8.3.1.1.2.4

Dividiere $e^{\frac{\frac{1}{2} x \cdot 2 - 3 x}{2}}$ durch $1$ .

$y = e^{\frac{\frac{1}{2} x \cdot 2 - 3 x}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Schritt 8.3.1.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $\frac{1}{2} x \cdot 2 - 3 x$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1.2.1.1

Faktorisiere $x$ aus $\frac{1}{2} x \cdot 2$ heraus.

$y = e^{\frac{x (\frac{1}{2} \cdot 2) - 3 x}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Schritt 8.3.1.2.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 3 x$ heraus.

$y = e^{\frac{x (\frac{1}{2} \cdot 2) + x \cdot - 3}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Schritt 8.3.1.2.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x (\frac{1}{2} \cdot 2) + x \cdot - 3$ heraus.

$y = e^{\frac{x (\frac{1}{2} \cdot 2 - 3)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Schritt 8.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = e^{\frac{x (\frac{1}{2} \cdot 2 - 3)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Schritt 8.3.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y = e^{\frac{x (1 - 3)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Schritt 8.3.1.2.3

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$y = e^{\frac{x \cdot - 2}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Schritt 8.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $x \cdot - 2$ heraus.

$y = e^{\frac{2 (x \cdot - 1)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Schritt 8.3.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$y = e^{\frac{2 (x \cdot - 1)}{2 (1)}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Schritt 8.3.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = e^{\frac{2 (x \cdot - 1)}{2 \cdot 1}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Schritt 8.3.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = e^{\frac{x \cdot - 1}{1}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Schritt 8.3.1.3.2.4

Dividiere $x \cdot - 1$ durch $1$ .

$y = e^{x \cdot - 1} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Schritt 8.3.1.4

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = e^{- 1 \cdot x} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Schritt 8.3.1.5

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$y = e^{- x} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Schritt 9

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $C$ zu finden indem $0$ für $x$ und $5$ für $y$ in $y = e^{- x} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$ ersetzt wird.

$5 = e^{0} + \frac{C}{e^{\frac{3 \cdot 0}{2}}}$

Schritt 10

Löse nach $C$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Schreibe die Gleichung als $e^{0} + \frac{C}{e^{\frac{3 \cdot 0}{2}}} = 5$ um.

$e^{0} + \frac{C}{e^{\frac{3 \cdot 0}{2}}} = 5$

Schritt 10.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$1 + \frac{C}{e^{\frac{3 \cdot 0}{2}}} = 5$

Schritt 10.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $3 \cdot 0$ heraus.

$1 + \frac{C}{e^{\frac{2 (3 \cdot 0)}{2}}} = 5$

Schritt 10.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$1 + \frac{C}{e^{\frac{2 (3 \cdot 0)}{2 (1)}}} = 5$

Schritt 10.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 + \frac{C}{e^{\frac{2 (3 \cdot 0)}{2 \cdot 1}}} = 5$

Schritt 10.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$1 + \frac{C}{e^{\frac{3 \cdot 0}{1}}} = 5$

Schritt 10.2.2.2.4

Dividiere $3 \cdot 0$ durch $1$ .

$1 + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}} = 5$

Schritt 10.2.3

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$1 + \frac{C}{e^{0}} = 5$

Schritt 10.2.3.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$1 + \frac{C}{1} = 5$

Schritt 10.2.4

Dividiere $C$ durch $1$ .

$1 + C = 5$

Schritt 10.3

Bringe alle Terme, die nicht $C$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.3.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$C = 5 - 1$

Schritt 10.3.2

Subtrahiere $1$ von $5$ .

$C = 4$

Schritt 11

Setze $4$ für $C$ in $y = e^{- x} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$ ein und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Ersetze $C$ durch $4$ .

$y = e^{- x} + \frac{4}{e^{\frac{3 x}{2}}}$