Analysis Beispiele

$x d x + y e^{- x} d y = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $x d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y e^{- x} d y = - x d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{e^{- x}}$ .

$\frac{1}{e^{- x}} (y e^{- x}) d y = \frac{1}{e^{- x}} (- x) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- x}$ .

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $e^{- x}$ aus $y e^{- x}$ heraus.

$\frac{1}{e^{- x}} (e^{- x} y) d y = \frac{1}{e^{- x}} (- x) d x$

Schritt 3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{e^{- x}} (e^{- x} y) d y = \frac{1}{e^{- x}} (- x) d x$

Schritt 3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$y d y = \frac{1}{e^{- x}} (- x) d x$

Schritt 3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y d y = - \frac{1}{e^{- x}} x d x$

Schritt 3.3

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{e^{- x}}$ .

$y d y = - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int y d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Schritt 4.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{x}{e^{- x}} d x$

Schritt 4.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.2.1

Kehre das Vorzeichen des Exponenten von $e^{- x}$ um und ziehe es aus dem Nenner heraus.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x {(e^{- x})}^{- 1} d x$

Schritt 4.3.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{- x})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.3.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x e^{- x \cdot - 1} d x$

Schritt 4.3.2.2.2

Multipliziere $- x \cdot - 1$ .

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Schritt 4.3.2.2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x e^{1 x} d x$

Schritt 4.3.2.2.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x e^{x} d x$

Schritt 4.3.3

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{x}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x e^{x} - \int e^{x} d x)$

Schritt 4.3.4

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x e^{x} - (e^{x} + C_{2}))$

Schritt 4.3.5

Vereinfache.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x e^{x} - e^{x}) + C_{2}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{2} y^{2} = - (x e^{x} - e^{x}) + K$

Schritt 5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- (x e^{x} - e^{x}) + K)$

Schritt 5.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Schritt 5.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- (x e^{x} - e^{x}) + K)$

Schritt 5.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- (x e^{x} - e^{x}) + K)$

Schritt 5.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = 2 (- (x e^{x} - e^{x}) + K)$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinfache $2 (- (x e^{x} - e^{x}) + K)$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} = 2 (- (x e^{x}) - - e^{x} + K)$

Schritt 5.2.2.1.1.2

Multipliziere $- - e^{x}$ .

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Schritt 5.2.2.1.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y^{2} = 2 (- x e^{x} + 1 e^{x} + K)$

Schritt 5.2.2.1.1.2.2

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $1$ .

$y^{2} = 2 (- x e^{x} + e^{x} + K)$

Schritt 5.2.2.1.2

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 5.2.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} = 2 (- x e^{x}) + 2 e^{x} + 2 K$

Schritt 5.2.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$y^{2} = - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 K$

Schritt 5.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{- 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 K}$

Schritt 5.4

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 K$ heraus.

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x e^{x}$ heraus.

$y = \pm \sqrt{2 (- x e^{x}) + 2 e^{x} + 2 K}$

Schritt 5.4.2

Faktorisiere $2$ aus $2 e^{x}$ heraus.

$y = \pm \sqrt{2 (- x e^{x}) + 2 (e^{x}) + 2 K}$

Schritt 5.4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 K$ heraus.

$y = \pm \sqrt{2 (- x e^{x}) + 2 (e^{x}) + 2 K}$

Schritt 5.4.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (- x e^{x}) + 2 (e^{x})$ heraus.

$y = \pm \sqrt{2 (- x e^{x} + e^{x}) + 2 K}$

Schritt 5.4.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (- x e^{x} + e^{x}) + 2 K$ heraus.

$y = \pm \sqrt{2 (- x e^{x} + e^{x} + K)}$

Schritt 5.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \sqrt{2 (- x e^{x} + e^{x} + K)}$

Schritt 5.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \sqrt{2 (- x e^{x} + e^{x} + K)}$

Schritt 5.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \sqrt{2 (- x e^{x} + e^{x} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (- x e^{x} + e^{x} + K)}$

$y = \sqrt{2 (- x e^{x} + e^{x} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (- x e^{x} + e^{x} + K)}$

$y = \sqrt{2 (- x e^{x} + e^{x} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (- x e^{x} + e^{x} + K)}$