Analysis Beispiele

$(x + 2 y) d x + x d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = x + 2 y$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x + 2 y]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 2 y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2 y]$

Schritt 1.2.2

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [2 y]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 y$ nach $y$ gleich $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 \cdot 1$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2$

Schritt 1.4

Addiere $0$ und $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = x$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $2$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $1$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$2 = 1$

Schritt 3.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$2 = 1$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $2$ .

$\frac{2 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Schritt 4.2

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $1$ .

$\frac{2 - 1}{N}$

Schritt 4.3

Ersetze $N$ durch $x$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $N$ durch $x$ .

$\frac{2 - 1}{x}$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\frac{1}{x}$

Schritt 4.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 5

Berechne das Integral $e^{\int \frac{1}{x} d x}$ .

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Schritt 5.1

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |) + C}$

Schritt 5.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |)} + C$

Schritt 5.2.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = | x | + C$

Schritt 6

Multipliziere beide Seiten von $(x + 2 y) d x + x d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $x$ .

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $x + 2 y$ mit $x$ .

$(x + 2 y) x d x + x d y = 0$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(x \cdot x + 2 y x) d x + x d y = 0$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$(x^{2} + 2 y x) d x + x d y = 0$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$(x^{2} + 2 y x) d x + x \cdot x d y = 0$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$(x^{2} + 2 y x) d x + x^{2} d y = 0$

Schritt 7

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{2} d y$

Schritt 8

Integriere $N (x, y) = x^{2}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 8.1

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = x^{2} y + C$

Schritt 9

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = x^{2} y + g (x)$

Schritt 10

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x^{2} + 2 y x$

Schritt 11

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 11.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y + g (x)] = x^{2} + 2 y x$

Schritt 11.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} y + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} + 2 y x$

Schritt 11.3

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

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Schritt 11.3.1

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x^{2} y$ nach $x$ gleich $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} + 2 y x$

Schritt 11.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$y (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} + 2 y x$

Schritt 11.3.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$2 y x + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} + 2 y x$

Schritt 11.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$2 y x + \frac{d g}{d x} = x^{2} + 2 y x$

Schritt 11.5

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} + 2 x y = x^{2} + 2 y x$

Schritt 12

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 12.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 12.1.1

Subtrahiere $2 x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} = x^{2} + 2 y x - 2 x y$

Schritt 12.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{2} + 2 y x - 2 x y$ .

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Schritt 12.1.2.1

Ordne die Faktoren in den Termen $2 y x$ und $- 2 x y$ neu an.

$\frac{d g}{d x} = x^{2} + 2 x y - 2 x y$

Schritt 12.1.2.2

Subtrahiere $2 x y$ von $2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{2} + 0$

Schritt 12.1.2.3

Addiere $x^{2}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{2}$

Schritt 13

Bestimme die Stammfunktion von $x^{2}$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 13.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = x^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x^{2} d x$

Schritt 13.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x^{2} d x$

Schritt 13.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$g (x) = \frac{1}{3} x^{3} + C$

Schritt 14

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = x^{2} y + g (x)$ ein.

$f (x, y) = x^{2} y + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Schritt 15

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$f (x, y) = x^{2} y + \frac{x^{3}}{3} + C$