Analysis Beispiele

$(x e^{y} + y - x^{2}) d y = (2 x y - e^{y} - x) d x$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung so um, dass sie der Technik der exakten Differentialgleichung entspricht.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $(2 x y - e^{y} - x) d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$(x e^{y} + y - x^{2}) d y - (2 x y - e^{y} - x) d x = 0$

Schritt 1.2

Forme um.

$- (2 x y - e^{y} - x) d x + (x e^{y} + y - x^{2}) d y = 0$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = - (2 x y - e^{y} - x)$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- (2 x y - e^{y} - x)]$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- (2 x y - e^{y} - x)$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [2 x y - e^{y} - x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [2 x y - e^{y} - x]$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x y - e^{y} - x$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- e^{y}] + \frac{d}{d y} [- x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- e^{y}] + \frac{d}{d y} [- x])$

Schritt 2.2.3

Da $2 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 x y$ nach $y$ gleich $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- e^{y}] + \frac{d}{d y} [- x])$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- e^{y}] + \frac{d}{d y} [- x])$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x + \frac{d}{d y} [- e^{y}] + \frac{d}{d y} [- x])$

Schritt 2.2.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- e^{y}$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [e^{y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x - \frac{d}{d y} [e^{y}] + \frac{d}{d y} [- x])$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ gleich $a^{y} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x - e^{y} + \frac{d}{d y} [- x])$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.4.1

Da $- x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- x$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x - e^{y} + 0)$

Schritt 2.4.2

Addiere $2 x - e^{y}$ und $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x - e^{y})$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x) - - e^{y}$

Schritt 2.5.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.5.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x - - e^{y}$

Schritt 2.5.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x + 1 e^{y}$

Schritt 2.5.2.3

Mutltipliziere $e^{y}$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x + e^{y}$

Schritt 3

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = x e^{y} + y - x^{2}$ .

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Schritt 3.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x e^{y} + y - x^{2}]$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x e^{y} + y - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [x e^{y}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $e^{y}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x e^{y}$ nach $x$ gleich $e^{y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $e^{y}$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 3.4

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} + 0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 3.5

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Schritt 3.5.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} + 0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} + 0 - (2 x)$

Schritt 3.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} + 0 - 2 x$

Schritt 3.6

Vereinfache.

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Schritt 3.6.1

Addiere $e^{y}$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} - 2 x$

Schritt 3.6.2

Stelle die Terme um.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x + e^{y}$

Schritt 4

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 4.1

Setze $- 2 x + e^{y}$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $- 2 x + e^{y}$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$- 2 x + e^{y} = - 2 x + e^{y}$

Schritt 4.2

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$- 2 x + e^{y} = - 2 x + e^{y}$ ist eine Identitätsgleichung.

Schritt 5

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x e^{y} + y - x^{2} d y$

Schritt 6

Integriere $N (x, y) = x e^{y} + y - x^{2}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 6.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f (x, y) = \int x e^{y} d y + \int y d y + \int - x^{2} d y$

Schritt 6.2

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $x$ aus dem Integral.

$f (x, y) = x \int e^{y} d y + \int y d y + \int - x^{2} d y$

Schritt 6.3

Das Integral von $e^{y}$ nach $y$ ist $e^{y}$ .

$f (x, y) = x (e^{y} + C) + \int y d y + \int - x^{2} d y$

Schritt 6.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = x (e^{y} + C) + \frac{1}{2} y^{2} + C + \int - x^{2} d y$

Schritt 6.5

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = x (e^{y} + C) + \frac{1}{2} y^{2} + C - x^{2} y + C$

Schritt 6.6

Vereinfache.

$f (x, y) = x e^{y} + \frac{1}{2} y^{2} - x^{2} y + C$

Schritt 7

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = x e^{y} + \frac{1}{2} y^{2} - x^{2} y + g (x)$

Schritt 8

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = - (2 x y - e^{y} - x)$

Schritt 9

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 9.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{y} + \frac{1}{2} y^{2} - x^{2} y + g (x)] = - (2 x y - e^{y} - x)$

Schritt 9.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x e^{y} + \frac{1}{2} y^{2} - x^{2} y + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (2 x y - e^{y} - x)$

Schritt 9.3

Berechne $\frac{d}{d x} [x e^{y}]$ .

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Schritt 9.3.1

Da $e^{y}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x e^{y}$ nach $x$ gleich $e^{y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (2 x y - e^{y} - x)$

Schritt 9.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (2 x y - e^{y} - x)$

Schritt 9.3.3

Mutltipliziere $e^{y}$ mit $1$ .

$e^{y} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (2 x y - e^{y} - x)$

Schritt 9.4

Da $\frac{1}{2} y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{2} y^{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$e^{y} + 0 + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (2 x y - e^{y} - x)$

Schritt 9.5

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2} y]$ .

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Schritt 9.5.1

Da $- y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2} y$ nach $x$ gleich $- y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{y} + 0 - y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (2 x y - e^{y} - x)$

Schritt 9.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$e^{y} + 0 - y (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (2 x y - e^{y} - x)$

Schritt 9.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$e^{y} + 0 - 2 y x + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (2 x y - e^{y} - x)$

Schritt 9.6

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$e^{y} + 0 - 2 y x + \frac{d g}{d x} = - (2 x y - e^{y} - x)$

Schritt 9.7

Vereinfache.

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Schritt 9.7.1

Addiere $e^{y}$ und $0$ .

$e^{y} - 2 y x + \frac{d g}{d x} = - (2 x y - e^{y} - x)$

Schritt 9.7.2

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = - (2 x y - e^{y} - x)$

Schritt 10

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 10.1

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 10.1.1

Vereinfache $- (2 x y - e^{y} - x)$ .

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Schritt 10.1.1.1

Forme um.

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = 0 + 0 - (2 x y - e^{y} - x)$

Schritt 10.1.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = - (2 x y - e^{y} - x)$

Schritt 10.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = - (2 x y) - - e^{y} - - x$

Schritt 10.1.1.4

Vereinfache.

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Schritt 10.1.1.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = - 2 (x y) - - e^{y} - - x$

Schritt 10.1.1.4.2

Multipliziere $- - e^{y}$ .

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Schritt 10.1.1.4.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = - 2 (x y) + 1 e^{y} - - x$

Schritt 10.1.1.4.2.2

Mutltipliziere $e^{y}$ mit $1$ .

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = - 2 (x y) + e^{y} - - x$

Schritt 10.1.1.4.3

Multipliziere $- - x$ .

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Schritt 10.1.1.4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = - 2 (x y) + e^{y} + 1 x$

Schritt 10.1.1.4.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = - 2 (x y) + e^{y} + x$

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = - 2 x y + e^{y} + x$

Schritt 10.1.2

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 10.1.2.1

Addiere $2 x y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} + e^{y} = - 2 x y + e^{y} + x + 2 x y$

Schritt 10.1.2.2

Subtrahiere $e^{y}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} = - 2 x y + e^{y} + x + 2 x y - e^{y}$

Schritt 10.1.2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 2 x y + e^{y} + x + 2 x y - e^{y}$ .

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Schritt 10.1.2.3.1

Addiere $- 2 x y$ und $2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = e^{y} + x + 0 - e^{y}$

Schritt 10.1.2.3.2

Addiere $e^{y} + x$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} = e^{y} + x - e^{y}$

Schritt 10.1.2.3.3

Subtrahiere $e^{y}$ von $e^{y}$ .

$\frac{d g}{d x} = x + 0$

Schritt 10.1.2.3.4

Addiere $x$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x$

Schritt 11

Bestimme die Stammfunktion von $x$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 11.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

Schritt 11.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x d x$

Schritt 11.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 12

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = x e^{y} + \frac{1}{2} y^{2} - x^{2} y + g (x)$ ein.

$f (x, y) = x e^{y} + \frac{1}{2} y^{2} - x^{2} y + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 13

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$f (x, y) = x e^{y} + \frac{y^{2}}{2} - x^{2} y + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 13.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$f (x, y) = x e^{y} + \frac{y^{2}}{2} - x^{2} y + \frac{x^{2}}{2} + C$