Analysis Beispiele

$(3 e^{x} y + x) d x + e^{x} d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = 3 e^{x} y + x$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 e^{x} y + x]$

Schritt 1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 e^{x} y + x$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [3 e^{x} y] + \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 e^{x} y] + \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [3 e^{x} y]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $3 e^{x}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $3 e^{x} y$ nach $y$ gleich $3 e^{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 e^{x} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 e^{x} + \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.4.1

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 e^{x} + 0$

Schritt 1.4.2

Addiere $3 e^{x}$ und $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 e^{x}$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = e^{x}$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x}$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $3 e^{x}$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $e^{x}$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$3 e^{x} = e^{x}$

Schritt 3.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$3 e^{x} = e^{x}$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $3 e^{x}$ .

$\frac{3 e^{x} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Schritt 4.2

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $e^{x}$ .

$\frac{3 e^{x} - e^{x}}{N}$

Schritt 4.3

Ersetze $N$ durch $e^{x}$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $N$ durch $e^{x}$ .

$\frac{3 e^{x} - e^{x}}{e^{x}}$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere $e^{x}$ von $3 e^{x}$ .

$\frac{2 e^{x}}{e^{x}}$

Schritt 4.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{x}$ .

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Schritt 4.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 e^{x}}{e^{x}}$

Schritt 4.3.3.2

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2$

Schritt 4.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int 2 d x}$

Schritt 5

Berechne das Integral $e^{\int 2 d x}$ .

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Schritt 5.1

Wende die Konstantenregel an.

$μ (x, y) = e^{2 x + C}$

Schritt 5.2

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{2 x} + C$

Schritt 6

Multipliziere beide Seiten von $(3 e^{x} y + x) d x + e^{x} d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $e^{2 x}$ .

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $3 e^{x} y + x$ mit $e^{2 x}$ .

$(3 e^{x} y + x) e^{2 x} d x + e^{x} d y = 0$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(3 e^{x} y e^{2 x} + x e^{2 x}) d x + e^{x} d y = 0$

Schritt 6.3

Multipliziere $e^{x}$ mit $e^{2 x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.3.1

Bewege $e^{2 x}$ .

$(3 (e^{2 x} e^{x}) y + x e^{2 x}) d x + e^{x} d y = 0$

Schritt 6.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(3 e^{2 x + x} y + x e^{2 x}) d x + e^{x} d y = 0$

Schritt 6.3.3

Addiere $2 x$ und $x$ .

$(3 e^{3 x} y + x e^{2 x}) d x + e^{x} d y = 0$

Schritt 6.4

Stelle die Faktoren in $3 e^{3 x} y + x e^{2 x}$ um.

$(3 y e^{3 x} + x e^{2 x}) d x + e^{x} d y = 0$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $e^{2 x}$ .

$(3 y e^{3 x} + x e^{2 x}) d x + e^{x} e^{2 x} d y = 0$

Schritt 6.6

Multipliziere $e^{x}$ mit $e^{2 x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.6.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(3 y e^{3 x} + x e^{2 x}) d x + e^{x + 2 x} d y = 0$

Schritt 6.6.2

Addiere $x$ und $2 x$ .

$(3 y e^{3 x} + x e^{2 x}) d x + e^{3 x} d y = 0$

Schritt 7

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{3 x} d y$

Schritt 8

Integriere $N (x, y) = e^{3 x}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 8.1

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = e^{3 x} y + C$

Schritt 9

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = e^{3 x} y + g (x)$

Schritt 10

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

Schritt 11

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 11.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{3 x} y + g (x)] = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

Schritt 11.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{3 x} y + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{3 x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{3 x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

Schritt 11.3

Berechne $\frac{d}{d x} [e^{3 x} y]$ .

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Schritt 11.3.1

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $e^{3 x} y$ nach $x$ gleich $y \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$y \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

Schritt 11.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 3 x$ .

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Schritt 11.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x$ .

$y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

Schritt 11.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$y (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

Schritt 11.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x$ .

$y (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

Schritt 11.3.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

Schritt 11.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$y (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

Schritt 11.3.5

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$y (e^{3 x} \cdot 3) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

Schritt 11.3.6

Bringe $3$ auf die linke Seite von $e^{3 x}$ .

$y (3 \cdot e^{3 x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

Schritt 11.3.7

Bringe $3$ auf die linke Seite von $y$ .

$3 y e^{3 x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

Schritt 11.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$3 y e^{3 x} + \frac{d g}{d x} = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

Schritt 11.5

Vereinfache.

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Schritt 11.5.1

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} + 3 e^{3 x} y = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

Schritt 11.5.2

Stelle die Faktoren in $\frac{d g}{d x} + 3 e^{3 x} y$ um.

$\frac{d g}{d x} + 3 y e^{3 x} = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

Schritt 12

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 12.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 12.1.1

Subtrahiere $3 y e^{3 x}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x} - 3 y e^{3 x}$

Schritt 12.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $3 y e^{3 x} + x e^{2 x} - 3 y e^{3 x}$ .

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Schritt 12.1.2.1

Subtrahiere $3 y e^{3 x}$ von $3 y e^{3 x}$ .

$\frac{d g}{d x} = x e^{2 x} + 0$

Schritt 12.1.2.2

Addiere $x e^{2 x}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x e^{2 x}$

Schritt 13

Bestimme die Stammfunktion von $x e^{2 x}$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 13.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = x e^{2 x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x e^{2 x} d x$

Schritt 13.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x e^{2 x} d x$

Schritt 13.3

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{2 x}$ .

$g (x) = x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

Schritt 13.4

Vereinfache.

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Schritt 13.4.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{2 x}$ .

$g (x) = x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

Schritt 13.4.2

Kombiniere $x$ und $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$g (x) = \frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

Schritt 13.5

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$g (x) = \frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x)$

Schritt 13.6

Entferne die Klammern.

$g (x) = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{2 x} d x$

Schritt 13.7

Sei $u = 2 x$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 13.7.1

Es sei $u = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 13.7.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 13.7.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 13.7.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 13.7.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 13.7.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$g (x) = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Schritt 13.8

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Schritt 13.9

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$g (x) = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Schritt 13.10

Vereinfache.

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Schritt 13.10.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u$

Schritt 13.10.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$g (x) = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

Schritt 13.11

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$g (x) = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$

Schritt 13.12

Schreibe $\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$ als $\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C$ um.

$g (x) = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

Schritt 13.13

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$

Schritt 14

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = e^{3 x} y + g (x)$ ein.

$f (x, y) = e^{3 x} y + \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$

Schritt 15

Vereinfache $f (x, y) = e^{3 x} y + \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$ .

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Schritt 15.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x$ .

$f (x, y) = e^{3 x} y + \frac{x}{2} e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$

Schritt 15.1.2

Kombiniere $\frac{x}{2}$ und $e^{2 x}$ .

$f (x, y) = e^{3 x} y + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$

Schritt 15.1.3

Kombiniere $e^{2 x}$ und $\frac{1}{4}$ .

$f (x, y) = e^{3 x} y + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4} + C$

Schritt 15.2

Stelle die Faktoren in $f (x, y) = e^{3 x} y + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4} + C$ um.

$f (x, y) = y e^{3 x} + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4} + C$