Analysis Beispiele

$m x d y = n y d x$

Schritt 1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{1}{x y} (m x) d y = \frac{1}{x y} (n y) d x$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x y$ heraus.

$\frac{1}{x (y)} (m x) d y = \frac{1}{x y} (n y) d x$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $x$ aus $m x$ heraus.

$\frac{1}{x (y)} (x m) d y = \frac{1}{x y} (n y) d x$

Schritt 2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{x y} (x m) d y = \frac{1}{x y} (n y) d x$

Schritt 2.1.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} m d y = \frac{1}{x y} (n y) d x$

Schritt 2.2

Kombiniere $\frac{1}{y}$ und $m$ .

$\frac{m}{y} d y = \frac{1}{x y} (n y) d x$

Schritt 2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 2.3.1

Faktorisiere $y$ aus $x y$ heraus.

$\frac{m}{y} d y = \frac{1}{y x} (n y) d x$

Schritt 2.3.2

Faktorisiere $y$ aus $n y$ heraus.

$\frac{m}{y} d y = \frac{1}{y x} (y n) d x$

Schritt 2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{m}{y} d y = \frac{1}{y x} (y n) d x$

Schritt 2.3.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{m}{y} d y = \frac{1}{x} n d x$

Schritt 2.4

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $n$ .

$\frac{m}{y} d y = \frac{n}{x} d x$

Schritt 3

Integriere beide Seiten.

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Schritt 3.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{m}{y} d y = \int \frac{n}{x} d x$

Schritt 3.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Da $m$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $m$ aus dem Integral.

$m \int \frac{1}{y} d y = \int \frac{n}{x} d x$

Schritt 3.2.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$m (\ln (| y |) + C_{1}) = \int \frac{n}{x} d x$

Schritt 3.2.3

Vereinfache.

$m \ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{n}{x} d x$

Schritt 3.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Da $n$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $n$ aus dem Integral.

$m \ln (| y |) + C_{1} = n \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 3.3.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$m \ln (| y |) + C_{1} = n (\ln (| x |) + C_{2})$

Schritt 3.3.3

Vereinfache.

$m \ln (| y |) + C_{1} = n \ln (| x |) + C_{2}$

Schritt 3.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$m \ln (| y |) = n \ln (| x |) + C$

Schritt 4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$m \ln (| y |) - n \ln (| x |) = C$

Schritt 4.2

Addiere $n \ln (| x |)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$m \ln (| y |) = C + n \ln (| x |)$

Schritt 4.3

Teile jeden Ausdruck in $m \ln (| y |) = C + n \ln (| x |)$ durch $\ln (| y |)$ und vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $m \ln (| y |) = C + n \ln (| x |)$ durch $\ln (| y |)$ .

$\frac{m \ln (| y |)}{\ln (| y |)} = \frac{C}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |)}{\ln (| y |)}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (| y |)$ .

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Schritt 4.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{m \ln (| y |)}{\ln (| y |)} = \frac{C}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |)}{\ln (| y |)}$

Schritt 4.3.2.1.2

Dividiere $m$ durch $1$ .

$m = \frac{C}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |)}{\ln (| y |)}$

Schritt 4.4

Schreibe die Gleichung als $\frac{C}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |)}{\ln (| y |)} = m$ um.

$\frac{C}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |)}{\ln (| y |)} = m$

Schritt 4.5

Multipliziere jeden Term in $\frac{C}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |)}{\ln (| y |)} = m$ mit $\ln (| y |)$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 4.5.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{C}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |)}{\ln (| y |)} = m$ mit $\ln (| y |)$ .

$\frac{C}{\ln (| y |)} \ln (| y |) + \frac{n \ln (| x |)}{\ln (| y |)} \ln (| y |) = m \ln (| y |)$

Schritt 4.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.5.2.1.1

Kombiniere $\frac{C}{\ln (| y |)}$ und $\ln (| y |)$ .

$\frac{C \ln (| y |)}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |)}{\ln (| y |)} \ln (| y |) = m \ln (| y |)$

Schritt 4.5.2.1.2

Kombiniere $\frac{n \ln (| x |)}{\ln (| y |)}$ und $\ln (| y |)$ .

$\frac{C \ln (| y |)}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |) \ln (| y |)}{\ln (| y |)} = m \ln (| y |)$

Schritt 4.6

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\frac{C \ln (| y |)}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |) \ln (| y |)}{\ln (| y |)} - m \ln (| y |) = 0$

Schritt 4.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (| y |)$ .

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Schritt 4.7.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{C \ln (| y |)}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |) \ln (| y |)}{\ln (| y |)} - m \ln (| y |) = 0$

Schritt 4.7.1.2

Dividiere $C$ durch $1$ .

$C + \frac{n \ln (| x |) \ln (| y |)}{\ln (| y |)} - m \ln (| y |) = 0$

Schritt 4.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (| y |)$ .

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Schritt 4.7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$C + \frac{n \ln (| x |) \ln (| y |)}{\ln (| y |)} - m \ln (| y |) = 0$

Schritt 4.7.2.2

Dividiere $n \ln (| x |)$ durch $1$ .

$C + n \ln (| x |) - m \ln (| y |) = 0$

Schritt 4.8

Bringe alle Terme, die nicht $\ln (| y |)$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.8.1

Subtrahiere $C$ von beiden Seiten der Gleichung.

$n \ln (| x |) - m \ln (| y |) = - C$

Schritt 4.8.2

Subtrahiere $n \ln (| x |)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- m \ln (| y |) = - C - n \ln (| x |)$

Schritt 4.9

Teile jeden Ausdruck in $- m \ln (| y |) = - C - n \ln (| x |)$ durch $- m$ und vereinfache.

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Schritt 4.9.1

Teile jeden Ausdruck in $- m \ln (| y |) = - C - n \ln (| x |)$ durch $- m$ .

$\frac{- m \ln (| y |)}{- m} = \frac{- C}{- m} + \frac{- n \ln (| x |)}{- m}$

Schritt 4.9.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.9.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{m \ln (| y |)}{m} = \frac{- C}{- m} + \frac{- n \ln (| x |)}{- m}$

Schritt 4.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $m$ .

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Schritt 4.9.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{m \ln (| y |)}{m} = \frac{- C}{- m} + \frac{- n \ln (| x |)}{- m}$

Schritt 4.9.2.2.2

Dividiere $\ln (| y |)$ durch $1$ .

$\ln (| y |) = \frac{- C}{- m} + \frac{- n \ln (| x |)}{- m}$

Schritt 4.9.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.9.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.9.3.1.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\ln (| y |) = \frac{C}{m} + \frac{- n \ln (| x |)}{- m}$

Schritt 4.9.3.1.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\ln (| y |) = \frac{C}{m} + \frac{n \ln (| x |)}{m}$

Schritt 4.10

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\frac{C}{m} + \frac{n \ln (| x |)}{m}}$

Schritt 4.11

Schreibe $\ln (| y |) = \frac{C}{m} + \frac{n \ln (| x |)}{m}$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{C}{m} + \frac{n \ln (| x |)}{m}} = | y |$

Schritt 4.12

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.12.1

Schreibe die Gleichung als $| y | = e^{\frac{C}{m} + \frac{n \ln (| x |)}{m}}$ um.

$| y | = e^{\frac{C}{m} + \frac{n \ln (| x |)}{m}}$

Schritt 4.12.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{\frac{C}{m} + \frac{n \ln (| x |)}{m}}$