Analysis Beispiele

$(1 + e^{2 y}) d x + (2 x e^{2 y}) d y = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $(1 + e^{2 y}) d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x e^{2 y} d y = - (1 + e^{2 y}) d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{x (1 + e^{2 y})}$ .

$\frac{1}{x (1 + e^{2 y})} (2 x e^{2 y}) d y = \frac{1}{x (1 + e^{2 y})} (- (1 + e^{2 y})) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \frac{1}{x (1 + e^{2 y})} (x e^{2 y}) d y = \frac{1}{x (1 + e^{2 y})} (- (1 + e^{2 y})) d x$

Schritt 3.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{x (1 + e^{2 y})}$ .

$\frac{2}{x (1 + e^{2 y})} (x e^{2 y}) d y = \frac{1}{x (1 + e^{2 y})} (- (1 + e^{2 y})) d x$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x e^{2 y}$ heraus.

$\frac{2}{x (1 + e^{2 y})} (x (e^{2 y})) d y = \frac{1}{x (1 + e^{2 y})} (- (1 + e^{2 y})) d x$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{x (1 + e^{2 y})} (x e^{2 y}) d y = \frac{1}{x (1 + e^{2 y})} (- (1 + e^{2 y})) d x$

Schritt 3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{1 + e^{2 y}} e^{2 y} d y = \frac{1}{x (1 + e^{2 y})} (- (1 + e^{2 y})) d x$

Schritt 3.4

Kombiniere $\frac{2}{1 + e^{2 y}}$ und $e^{2 y}$ .

$\frac{2 e^{2 y}}{1 + e^{2 y}} d y = \frac{1}{x (1 + e^{2 y})} (- (1 + e^{2 y})) d x$

Schritt 3.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 e^{2 y}}{1 + e^{2 y}} d y = - \frac{1}{x (1 + e^{2 y})} (1 + e^{2 y}) d x$

Schritt 3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + e^{2 y}$ .

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Schritt 3.6.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{x (1 + e^{2 y})}$ in den Zähler.

$\frac{2 e^{2 y}}{1 + e^{2 y}} d y = \frac{- 1}{x (1 + e^{2 y})} (1 + e^{2 y}) d x$

Schritt 3.6.2

Faktorisiere $1 + e^{2 y}$ aus $x (1 + e^{2 y})$ heraus.

$\frac{2 e^{2 y}}{1 + e^{2 y}} d y = \frac{- 1}{(1 + e^{2 y}) x} (1 + e^{2 y}) d x$

Schritt 3.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 e^{2 y}}{1 + e^{2 y}} d y = \frac{- 1}{(1 + e^{2 y}) x} (1 + e^{2 y}) d x$

Schritt 3.6.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 e^{2 y}}{1 + e^{2 y}} d y = \frac{- 1}{x} d x$

Schritt 3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2 e^{2 y}}{1 + e^{2 y}} d y = - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{2 e^{2 y}}{1 + e^{2 y}} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int \frac{e^{2 y}}{1 + e^{2 y}} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.2

Sei $u_{2} = 1 + e^{2 y}$ . Dann ist $d u_{2} = 2 e^{2 y} d y$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = e^{2 y} d y$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 4.2.2.1

Es sei $u_{2} = 1 + e^{2 y}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d y}$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Differenziere $1 + e^{2 y}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + e^{2 y}]$

Schritt 4.2.2.1.2

Differenziere.

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Schritt 4.2.2.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + e^{2 y}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [e^{2 y}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [e^{2 y}]$

Schritt 4.2.2.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [e^{2 y}]$

Schritt 4.2.2.1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [e^{2 y}]$ .

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Schritt 4.2.2.1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = e^{y}$ und $g (y) = 2 y$ .

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Schritt 4.2.2.1.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $2 y$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d y} [2 y]$

Schritt 4.2.2.1.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$0 + e^{u_{1}} \frac{d}{d y} [2 y]$

Schritt 4.2.2.1.3.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 y$ .

$0 + e^{2 y} \frac{d}{d y} [2 y]$

Schritt 4.2.2.1.3.2

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 y$ nach $y$ gleich $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + e^{2 y} (2 \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 4.2.2.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + e^{2 y} (2 \cdot 1)$

Schritt 4.2.2.1.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$0 + e^{2 y} \cdot 2$

Schritt 4.2.2.1.3.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{2 y}$ .

$0 + 2 e^{2 y}$

Schritt 4.2.2.1.4

Addiere $0$ und $2 e^{2 y}$ .

$2 e^{2 y}$

Schritt 4.2.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$2 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.3

Vereinfache.

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Schritt 4.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u_{2}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u_{2}$ .

$2 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}) = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.5

Vereinfache.

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Schritt 4.2.5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.5.3

Mutltipliziere $\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$ mit $1$ .

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.6

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{2} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.7

Ersetze alle $u_{2}$ durch $1 + e^{2 y}$ .

$\ln (| 1 + e^{2 y} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\ln (| 1 + e^{2 y} |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.3.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\ln (| 1 + e^{2 y} |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Schritt 4.3.3

Vereinfache.

$\ln (| 1 + e^{2 y} |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| 1 + e^{2 y} |) = - \ln (| x |) + C$