Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{4 y (x + 2 x y^{2})}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $x$ aus $x + 2 x y^{2}$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{4 y (x^{1} + 2 x y^{2})}$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{4 y (x \cdot 1 + 2 x y^{2})}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $x$ aus $2 x y^{2}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{4 y (x \cdot 1 + x (2 y^{2}))}$

Schritt 1.1.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 1 + x (2 y^{2})$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{4 y (x (1 + 2 y^{2}))}$

Schritt 1.2

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{4 x y (1 + 2 y^{2})}$

Schritt 1.3

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{4 x} \cdot \frac{1}{y (1 + 2 y^{2})}$

Schritt 1.4

Multipliziere beide Seiten mit $y (1 + 2 y^{2})$ .

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = y (1 + 2 y^{2}) (\frac{x^{2}}{4 x} \cdot \frac{1}{y (1 + 2 y^{2})})$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y \cdot 1 + y (2 y^{2})) (\frac{x^{2}}{4 x} \cdot \frac{1}{y (1 + 2 y^{2})})$

Schritt 1.5.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + y (2 y^{2})) (\frac{x^{2}}{4 x} \cdot \frac{1}{y (1 + 2 y^{2})})$

Schritt 1.5.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + 2 y \cdot y^{2}) (\frac{x^{2}}{4 x} \cdot \frac{1}{y (1 + 2 y^{2})})$

Schritt 1.5.4

Multipliziere $y$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.5.4.1

Bewege $y^{2}$ .

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + 2 (y^{2} y)) (\frac{x^{2}}{4 x} \cdot \frac{1}{y (1 + 2 y^{2})})$

Schritt 1.5.4.2

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $y$ .

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Schritt 1.5.4.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + 2 (y^{2} y^{1})) (\frac{x^{2}}{4 x} \cdot \frac{1}{y (1 + 2 y^{2})})$

Schritt 1.5.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + 2 y^{2 + 1}) (\frac{x^{2}}{4 x} \cdot \frac{1}{y (1 + 2 y^{2})})$

Schritt 1.5.4.3

Addiere $2$ und $1$ .

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + 2 y^{3}) (\frac{x^{2}}{4 x} \cdot \frac{1}{y (1 + 2 y^{2})})$

Schritt 1.5.5

Kombinieren.

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + 2 y^{3}) \frac{x^{2} \cdot 1}{4 x (y (1 + 2 y^{2}))}$

Schritt 1.5.6

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + 2 y^{3}) \frac{x^{2}}{4 x (y (1 + 2 y^{2}))}$

Schritt 1.5.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 1.5.7.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + 2 y^{3}) \frac{x \cdot x}{4 x y (1 + 2 y^{2})}$

Schritt 1.5.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.7.2.1

Faktorisiere $x$ aus $4 x y (1 + 2 y^{2})$ heraus.

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + 2 y^{3}) \frac{x \cdot x}{x (4 y (1 + 2 y^{2}))}$

Schritt 1.5.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + 2 y^{3}) \frac{x \cdot x}{x (4 y (1 + 2 y^{2}))}$

Schritt 1.5.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + 2 y^{3}) \frac{x}{4 y (1 + 2 y^{2})}$

Schritt 1.5.8

Mutltipliziere $y + 2 y^{3}$ mit $\frac{x}{4 y (1 + 2 y^{2})}$ .

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(y + 2 y^{3}) x}{4 y (1 + 2 y^{2})}$

Schritt 1.5.9

Faktorisiere $y$ aus $y + 2 y^{3}$ heraus.

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Schritt 1.5.9.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(y^{1} + 2 y^{3}) x}{4 y (1 + 2 y^{2})}$

Schritt 1.5.9.2

Faktorisiere $y$ aus $y^{1}$ heraus.

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(y \cdot 1 + 2 y^{3}) x}{4 y (1 + 2 y^{2})}$

Schritt 1.5.9.3

Faktorisiere $y$ aus $2 y^{3}$ heraus.

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(y \cdot 1 + y (2 y^{2})) x}{4 y (1 + 2 y^{2})}$

Schritt 1.5.9.4

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot 1 + y (2 y^{2})$ heraus.

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{y (1 + 2 y^{2}) x}{4 y (1 + 2 y^{2})}$

Schritt 1.5.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.5.10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{y (1 + 2 y^{2}) x}{4 y (1 + 2 y^{2})}$

Schritt 1.5.10.2

Forme den Ausdruck um.

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 + 2 y^{2}) x}{4 (1 + 2 y^{2})}$

Schritt 1.5.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + 2 y^{2}$ .

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Schritt 1.5.11.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 + 2 y^{2}) x}{4 (1 + 2 y^{2})}$

Schritt 1.5.11.2

Forme den Ausdruck um.

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{x}{4}$

Schritt 1.6

Schreibe die Gleichung um.

$y (1 + 2 y^{2}) d y = \frac{x}{4} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int y (1 + 2 y^{2}) d y = \int \frac{x}{4} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int y \cdot 1 + y (2 y^{2}) d y = \int \frac{x}{4} d x$

Schritt 2.2.1.2

Stelle $y$ und $1$ um.

$\int 1 \cdot y + y (2 y^{2}) d y = \int \frac{x}{4} d x$

Schritt 2.2.1.3

Stelle $y$ und $2$ um.

$\int 1 \cdot y + 2 \cdot y \cdot y^{2} d y = \int \frac{x}{4} d x$

Schritt 2.2.1.4

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$\int y + 2 y \cdot y^{2} d y = \int \frac{x}{4} d x$

Schritt 2.2.1.5

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\int y + 2 (y^{1} y^{2}) d y = \int \frac{x}{4} d x$

Schritt 2.2.1.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int y + 2 y^{1 + 2} d y = \int \frac{x}{4} d x$

Schritt 2.2.1.7

Addiere $1$ und $2$ .

$\int y + 2 y^{3} d y = \int \frac{x}{4} d x$

Schritt 2.2.1.8

Stelle $y$ und $2 y^{3}$ um.

$\int 2 y^{3} + y d y = \int \frac{x}{4} d x$

Schritt 2.2.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 2 y^{3} d y + \int y d y = \int \frac{x}{4} d x$

Schritt 2.2.3

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int y^{3} d y + \int y d y = \int \frac{x}{4} d x$

Schritt 2.2.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{3}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$2 (\frac{1}{4} y^{4} + C_{1}) + \int y d y = \int \frac{x}{4} d x$

Schritt 2.2.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{4} y^{4} + C_{1}) + \frac{1}{2} y^{2} + C_{2} = \int \frac{x}{4} d x$

Schritt 2.2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.2.6.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $y^{4}$ .

$2 (\frac{y^{4}}{4} + C_{1}) + \frac{1}{2} y^{2} + C_{2} = \int \frac{x}{4} d x$

Schritt 2.2.6.2

Vereinfache.

$\frac{y^{4}}{2} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int \frac{x}{4} d x$

Schritt 2.2.6.3

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{2} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int \frac{x}{4} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{4} \int x d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.3.3.1

Schreibe $\frac{1}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$ als $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$ um.

$\frac{1}{2} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{4 \cdot 2} x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.3.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{8} x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{2} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{8} x^{2} + K$