Analysis Beispiele

$(y + x y^{2}) d x - x d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = y + x y^{2}$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y + x y^{2}]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y + x y^{2}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x y^{2}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \frac{d}{d y} [x y^{2}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [x y^{2}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x y^{2}$ nach $y$ gleich $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + x \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + x (2 y)$

Schritt 1.3.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + 2 x y$

Schritt 1.4

Stelle die Terme um.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + 1$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = - x$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1 \cdot 1$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $2 x y + 1$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $- 1$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$2 x y + 1 = - 1$

Schritt 3.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$2 x y + 1 = - 1$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $- 1$ .

$\frac{- 1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Schritt 4.2

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $2 x y + 1$ .

$\frac{- 1 - (2 x y + 1)}{M}$

Schritt 4.3

Ersetze $M$ durch $y + x y^{2}$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $M$ durch $y + x y^{2}$ .

$\frac{- 1 - (2 x y + 1)}{y + x y^{2}}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 - (2 x y + 1)$ heraus.

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Schritt 4.3.2.1.1

Stelle $- 1$ und $- (2 x y + 1)$ um.

$\frac{- (2 x y + 1) - 1}{y + x y^{2}}$

Schritt 4.3.2.1.2

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{- (2 x y + 1) - 1 (1)}{y + x y^{2}}$

Schritt 4.3.2.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x y + 1) - 1 (1)$ heraus.

$\frac{- (2 x y + 1 + 1)}{y + x y^{2}}$

Schritt 4.3.2.2

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- (2 x y + 2)}{y + x y^{2}}$

Schritt 4.3.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x y + 2$ heraus.

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Schritt 4.3.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x y$ heraus.

$\frac{- (2 (x y) + 2)}{y + x y^{2}}$

Schritt 4.3.2.3.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{- (2 (x y) + 2 (1))}{y + x y^{2}}$

Schritt 4.3.2.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (x y) + 2 (1)$ heraus.

$\frac{- (2 (x y + 1))}{y + x y^{2}}$

$\frac{- 1 \cdot 2 (x y + 1)}{y + x y^{2}}$

Schritt 4.3.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{- 2 (x y + 1)}{y + x y^{2}}$

Schritt 4.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y + x y^{2}$ heraus.

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Schritt 4.3.3.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{- 2 (x y + 1)}{y^{1} + x y^{2}}$

Schritt 4.3.3.2

Faktorisiere $y$ aus $y^{1}$ heraus.

$\frac{- 2 (x y + 1)}{y \cdot 1 + x y^{2}}$

Schritt 4.3.3.3

Faktorisiere $y$ aus $x y^{2}$ heraus.

$\frac{- 2 (x y + 1)}{y \cdot 1 + y (x y)}$

Schritt 4.3.3.4

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot 1 + y (x y)$ heraus.

$\frac{- 2 (x y + 1)}{y (1 + x y)}$

Schritt 4.3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x y + 1$ und $1 + x y$ .

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Schritt 4.3.4.1

Stelle die Terme um.

$\frac{- 2 (x y + 1)}{y (x y + 1)}$

Schritt 4.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 (x y + 1)}{y (x y + 1)}$

Schritt 4.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2}{y}$

Schritt 4.3.5

Ersetze $M$ durch $y + x y^{2}$ .

$- \frac{2}{y}$

Schritt 4.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

Schritt 5

Berechne das Integral $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

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Schritt 5.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

Schritt 5.2

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

Schritt 5.4

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

Schritt 5.5

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

Schritt 5.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.6.1

Vereinfache $- 2 \ln (| y |)$ , indem du $- 2$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

Schritt 5.6.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

Schritt 5.6.3

Entferne den Absolutwert in ${| y |}^{- 2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

Schritt 5.6.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

Schritt 6

Multipliziere beide Seiten von $(y + x y^{2}) d x - x d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $\frac{1}{y^{2}}$ .

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $y + x y^{2}$ mit $\frac{1}{y^{2}}$ .

$(y + x y^{2}) \frac{1}{y^{2}} d x - x d y = 0$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $y + x y^{2}$ mit $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{y + x y^{2}}{y^{2}} d x - x d y = 0$

Schritt 6.3

Faktorisiere $y$ aus $y + x y^{2}$ heraus.

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Schritt 6.3.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{y^{1} + x y^{2}}{y^{2}} d x - x d y = 0$

Schritt 6.3.2

Faktorisiere $y$ aus $y^{1}$ heraus.

$\frac{y \cdot 1 + x y^{2}}{y^{2}} d x - x d y = 0$

Schritt 6.3.3

Faktorisiere $y$ aus $x y^{2}$ heraus.

$\frac{y \cdot 1 + y (x y)}{y^{2}} d x - x d y = 0$

Schritt 6.3.4

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot 1 + y (x y)$ heraus.

$\frac{y (1 + x y)}{y^{2}} d x - x d y = 0$

Schritt 6.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.4.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{2}$ heraus.

$\frac{y (1 + x y)}{y \cdot y} d x - x d y = 0$

Schritt 6.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (1 + x y)}{y \cdot y} d x - x d y = 0$

Schritt 6.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 + x y}{y} d x - x d y = 0$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $- x$ mit $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1 + x y}{y} d x - x \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Schritt 6.6

Kombiniere $\frac{1}{y^{2}}$ und $x$ .

$\frac{1 + x y}{y} d x - \frac{x}{y^{2}} d y = 0$

Schritt 7

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - \frac{x}{y^{2}} d y$

Schritt 8

Integriere $N (x, y) = - \frac{x}{y^{2}}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 8.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$f (x, y) = - \int \frac{x}{y^{2}} d y$

Schritt 8.2

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $x$ aus dem Integral.

$f (x, y) = - (x \int \frac{1}{y^{2}} d y)$

Schritt 8.3

Entferne die Klammern.

$f (x, y) = - x \int \frac{1}{y^{2}} d y$

Schritt 8.4

Bringe $y^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$f (x, y) = - x \int {(y^{2})}^{- 1} d y$

Schritt 8.5

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 8.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = - x \int y^{2 \cdot - 1} d y$

Schritt 8.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f (x, y) = - x \int y^{- 2} d y$

Schritt 8.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{- 2}$ nach $y$ gleich $- y^{- 1}$ .

$f (x, y) = - x (- y^{- 1} + C)$

Schritt 8.7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.7.1

Schreibe $- x (- y^{- 1} + C)$ als $- x (- \frac{1}{y}) + C$ um.

$f (x, y) = - x (- \frac{1}{y}) + C$

Schritt 8.7.2

Vereinfache.

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Schritt 8.7.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (x, y) = 1 x \frac{1}{y} + C$

Schritt 8.7.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (x, y) = x \frac{1}{y} + C$

Schritt 8.7.2.3

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{y}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + C$

Schritt 9

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = \frac{x}{y} + g (x)$

Schritt 10

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1 + x y}{y}$

Schritt 11

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 11.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{y} + g (x)] = \frac{1 + x y}{y}$

Schritt 11.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{x}{y} + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{y}$

Schritt 11.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$ .

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Schritt 11.3.1

Da $\frac{1}{y}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{y}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{y}$

Schritt 11.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{y}$

Schritt 11.3.3

Mutltipliziere $\frac{1}{y}$ mit $1$ .

$\frac{1}{y} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{y}$

Schritt 11.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$\frac{1}{y} + \frac{d g}{d x} = \frac{1 + x y}{y}$

Schritt 11.5

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} + \frac{1}{y} = \frac{1 + x y}{y}$

Schritt 12

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 12.1

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 12.1.1

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 12.1.1.1

Subtrahiere $\frac{1 + x y}{y}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} + \frac{1}{y} - \frac{1 + x y}{y} = 0$

Schritt 12.1.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d g}{d x} + \frac{1 - (1 + x y)}{y} = 0$

Schritt 12.1.1.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d g}{d x} + \frac{1 - 1 \cdot 1 - (x y)}{y} = 0$

Schritt 12.1.1.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{1 - 1 - x y}{y} = 0$

Schritt 12.1.1.4

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{0 - x y}{y} = 0$

Schritt 12.1.1.5

Subtrahiere $x y$ von $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x y}{y} = 0$

Schritt 12.1.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 12.1.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x y}{y} = 0$

Schritt 12.1.1.6.2

Dividiere $- x$ durch $1$ .

$\frac{d g}{d x} - x = 0$

Schritt 12.1.2

Addiere $x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} = x$

Schritt 13

Bestimme die Stammfunktion von $x$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 13.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

Schritt 13.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x d x$

Schritt 13.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 14

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = \frac{x}{y} + g (x)$ ein.

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 15

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{x^{2}}{2} + C$