Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = (- \frac{6}{x^{2}} + \frac{1}{6})$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = (- \frac{6}{x^{2}} + \frac{1}{6}) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int (- \frac{6}{x^{2}} + \frac{1}{6}) d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int (- \frac{6}{x^{2}} + \frac{1}{6}) d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = \int - \frac{6}{x^{2}} d x + \int \frac{1}{6} d x$

Schritt 2.3.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = - \int \frac{6}{x^{2}} d x + \int \frac{1}{6} d x$

Schritt 2.3.3

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = - (6 \int \frac{1}{x^{2}} d x) + \int \frac{1}{6} d x$

Schritt 2.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.4.1

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$y + C_{1} = - 6 \int \frac{1}{x^{2}} d x + \int \frac{1}{6} d x$

Schritt 2.3.4.2

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$y + C_{1} = - 6 \int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int \frac{1}{6} d x$

Schritt 2.3.4.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.4.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = - 6 \int x^{2 \cdot - 1} d x + \int \frac{1}{6} d x$

Schritt 2.3.4.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y + C_{1} = - 6 \int x^{- 2} d x + \int \frac{1}{6} d x$

Schritt 2.3.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$y + C_{1} = - 6 (- x^{- 1} + C_{2}) + \int \frac{1}{6} d x$

Schritt 2.3.6

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = - 6 (- x^{- 1} + C_{2}) + \frac{1}{6} x + C_{3}$

Schritt 2.3.7

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.1

Vereinfache.

$y + C_{1} = - 6 (- \frac{1}{x}) + \frac{1}{6} x + C_{4}$

Schritt 2.3.7.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 6$ .

$y + C_{1} = 6 \frac{1}{x} + \frac{1}{6} x + C_{4}$

Schritt 2.3.7.2.2

Kombiniere $6$ und $\frac{1}{x}$ .

$y + C_{1} = \frac{6}{x} + \frac{1}{6} x + C_{4}$

Schritt 2.3.8

Stelle die Terme um.

$y + C_{1} = \frac{1}{6} x + \frac{6}{x} + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = \frac{1}{6} x + \frac{6}{x} + K$