Analysis Beispiele

$y^{3} \frac{d y}{d x} = (y^{4} + 1) \cos (x)$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y^{4} + 1}$ .

$\frac{1}{y^{4} + 1} (y^{3} \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{y^{4} + 1} ((y^{4} + 1) \cos (x))$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{4} + 1$ .

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $y^{4} + 1$ aus $(y^{4} + 1) \cos (x)$ heraus.

$\frac{1}{y^{4} + 1} (y^{3} \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{y^{4} + 1} ((y^{4} + 1) (\cos (x)))$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y^{4} + 1} (y^{3} \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{y^{4} + 1} ((y^{4} + 1) \cos (x))$

Schritt 1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y^{4} + 1} (y^{3} \frac{d y}{d x}) = \cos (x)$

Schritt 1.3

Entferne unnötige Klammern.

$\frac{1}{y^{4} + 1} y^{3} \frac{d y}{d x} = \cos (x)$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y^{4} + 1} y^{3} d y = \cos (x) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y^{4} + 1} y^{3} d y = \int \cos (x) d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.2.1.1

Kombiniere $\frac{1}{y^{4} + 1}$ und $y^{3}$ .

$\int \frac{y^{3}}{y^{4} + 1} d y = \int \cos (x) d x$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe $y^{4}$ als ${(y^{4})}^{1}$ um.

$\int \frac{y^{3}}{{(y^{4})}^{1} + 1} d y = \int \cos (x) d x$

Schritt 2.2.2

Sei $u_{1} = y^{4}$ . Dann ist $d u_{1} = 4 y^{3} d y$ , folglich $\frac{1}{4} d u_{1} = y^{3} d y$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Es sei $u_{1} = y^{4}$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Differenziere $y^{4}$ .

$\frac{d}{d y} [y^{4}]$

Schritt 2.2.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 y^{3}$

Schritt 2.2.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \frac{1}{{u_{1}}^{1} + 1} \cdot \frac{1}{4} d u_{1} = \int \cos (x) d x$

Schritt 2.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.2.3.1

Vereinfache.

$\int \frac{1}{u_{1} + 1} \cdot \frac{1}{4} d u_{1} = \int \cos (x) d x$

Schritt 2.2.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{u_{1} + 1}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{1}{(u_{1} + 1) \cdot 4} d u_{1} = \int \cos (x) d x$

Schritt 2.2.3.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $u_{1} + 1$ .

$\int \frac{1}{4 (u_{1} + 1)} d u_{1} = \int \cos (x) d x$

Schritt 2.2.4

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{1} + 1} d u_{1} = \int \cos (x) d x$

Schritt 2.2.5

Sei $u_{2} = u_{1} + 1$ . Dann ist $d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Vewendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 2.2.5.1

Es sei $u_{2} = u_{1} + 1$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 2.2.5.1.1

Differenziere $u_{1} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} + 1]$

Schritt 2.2.5.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $u_{1} + 1$ nach $u_{1}$ $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Schritt 2.2.5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Schritt 2.2.5.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $u_{1}$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.2.5.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.2.5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int \cos (x) d x$

Schritt 2.2.6

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| u_{2} |) + C_{1}) = \int \cos (x) d x$

Schritt 2.2.7

Vereinfache.

$\frac{1}{4} \ln (| u_{2} |) + C_{1} = \int \cos (x) d x$

Schritt 2.2.8

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 2.2.8.1

Ersetze alle $u_{2}$ durch $u_{1} + 1$ .

$\frac{1}{4} \ln (| u_{1} + 1 |) + C_{1} = \int \cos (x) d x$

Schritt 2.2.8.2

Ersetze alle $u_{1}$ durch $y^{4}$ .

$\frac{1}{4} \ln (| y^{4} + 1 |) + C_{1} = \int \cos (x) d x$

Schritt 2.3

Das Integral von $\cos (x)$ nach $x$ ist $\sin (x)$ .

$\frac{1}{4} \ln (| y^{4} + 1 |) + C_{1} = \sin (x) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\frac{1}{4} \ln (| y^{4} + 1 |) = \sin (x) + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $4$ .

$4 (\frac{1}{4} \ln (| y^{4} + 1 |)) = 4 (\sin (x) + C)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $4 (\frac{1}{4} \ln (| y^{4} + 1 |))$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $\ln (| y^{4} + 1 |)$ .

$4 \frac{\ln (| y^{4} + 1 |)}{4} = 4 (\sin (x) + C)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \frac{\ln (| y^{4} + 1 |)}{4} = 4 (\sin (x) + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| y^{4} + 1 |) = 4 (\sin (x) + C)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| y^{4} + 1 |) = 4 \sin (x) + 4 C$

Schritt 3.3

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| y^{4} + 1 |)} = e^{4 \sin (x) + 4 C}$

Schritt 3.4

Schreibe $\ln (| y^{4} + 1 |) = 4 \sin (x) + 4 C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{4 \sin (x) + 4 C} = | y^{4} + 1 |$

Schritt 3.5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.5.1

Schreibe die Gleichung als $| y^{4} + 1 | = e^{4 \sin (x) + 4 C}$ um.

$| y^{4} + 1 | = e^{4 \sin (x) + 4 C}$

Schritt 3.5.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y^{4} + 1 = \pm e^{4 \sin (x) + 4 C}$

Schritt 3.5.3

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{4} = \pm e^{4 \sin (x) + 4 C} - 1$

Schritt 3.5.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt[4]{\pm e^{4 \sin (x) + 4 C} - 1}$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \pm \sqrt[4]{\pm e^{4 \sin (x) + C} - 1}$

Schritt 4.2

Schreibe $e^{4 \sin (x) + C}$ als $e^{4 \sin (x)} e^{C}$ um.

$y = \pm \sqrt[4]{\pm e^{4 \sin (x)} e^{C} - 1}$

Schritt 4.3

Stelle $e^{4 \sin (x)}$ und $e^{C}$ um.

$y = \pm \sqrt[4]{\pm e^{C} e^{4 \sin (x)} - 1}$

Schritt 4.4

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = \pm \sqrt[4]{C e^{4 \sin (x)} - 1}$