Analysis Beispiele

$x \frac{d y}{d x} = \sqrt{1 - y}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d y}{d x} = \sqrt{1 - y}$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d y}{d x} = \sqrt{1 - y}$ durch $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{1 - y}}{x}$

Schritt 1.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{1 - y}}{x}$

Schritt 1.1.2.1.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{1 - y}}{x}$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{\sqrt{1 - y}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{1 - y}} \cdot \frac{\sqrt{1 - y}}{x}$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{1 - y}$ .

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Schritt 1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\sqrt{1 - y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{1 - y}} \cdot \frac{\sqrt{1 - y}}{x}$

Schritt 1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\sqrt{1 - y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{\sqrt{1 - y}} d y = \frac{1}{x} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{\sqrt{1 - y}} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Sei $u = 1 - y$ . Dann ist $d u = - d y$ , folglich $- d u = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u = 1 - y$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Forme um.

$\frac{- 1}{1}$

Schritt 2.2.1.1.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- 1$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{- 1}{\sqrt{u}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int - \frac{1}{\sqrt{u}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.4

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.2.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.4.2

Bringe $u^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$- \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.4.3

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.4.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.4.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$- \int u^{\frac{- 1}{2}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.4.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \int u^{- \frac{1}{2}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.2.6.1

Schreibe $- (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1})$ als $- 1 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1}$ um.

$- 1 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.7

Ersetze alle $u$ durch $1 - y$ .

$- 2 {(1 - y)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$- 2 {(1 - y)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$- 2 {(1 - y)}^{\frac{1}{2}} = \ln (| x |) + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 {(1 - y)}^{\frac{1}{2}} = \ln (| x |) + C$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 {(1 - y)}^{\frac{1}{2}} = \ln (| x |) + C$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 {(1 - y)}^{\frac{1}{2}}}{- 2} = \frac{\ln (| x |)}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 {(1 - y)}^{\frac{1}{2}}}{- 2} = \frac{\ln (| x |)}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

Schritt 3.1.2.2

Dividiere ${(1 - y)}^{\frac{1}{2}}$ durch $1$ .

${(1 - y)}^{\frac{1}{2}} = \frac{\ln (| x |)}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

Schritt 3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.3.1.1

Schreibe $\frac{\ln (| x |)}{- 2}$ als $\frac{1}{- 2} \ln (| x |)$ um.

${(1 - y)}^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{- 2} \ln (| x |) + \frac{C}{- 2}$

Schritt 3.1.3.1.2

Vereinfache $\frac{1}{- 2} \ln (| x |)$ , indem du $- \frac{1}{- 2}$ in den Logarithmus ziehst.

${(1 - y)}^{\frac{1}{2}} = - \ln ({| x |}^{- \frac{1}{- 2}}) + \frac{C}{- 2}$

Schritt 3.1.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

${(1 - y)}^{\frac{1}{2}} = - \ln ({| x |}^{- - \frac{1}{2}}) + \frac{C}{- 2}$

Schritt 3.1.3.1.4

Multipliziere $- - \frac{1}{2}$ .

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Schritt 3.1.3.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

${(1 - y)}^{\frac{1}{2}} = - \ln ({| x |}^{1 (\frac{1}{2})}) + \frac{C}{- 2}$

Schritt 3.1.3.1.4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

${(1 - y)}^{\frac{1}{2}} = - \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{- 2}$

Schritt 3.1.3.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

${(1 - y)}^{\frac{1}{2}} = - \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) - \frac{C}{2}$

Schritt 3.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $2$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${({(1 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) - \frac{C}{2})}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache ${({(1 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(1 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 - y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) - \frac{C}{2})}^{2}$

Schritt 3.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(1 - y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) - \frac{C}{2})}^{2}$

Schritt 3.3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(1 - y)}^{1} = {(- \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) - \frac{C}{2})}^{2}$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache.

$1 - y = {(- \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) - \frac{C}{2})}^{2}$

Schritt 3.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.4.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y = {(- \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) - \frac{C}{2})}^{2} - 1$

Schritt 3.4.2

Teile jeden Ausdruck in $- y = {(- \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) - \frac{C}{2})}^{2} - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- y = {(- \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) - \frac{C}{2})}^{2} - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{{(- \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) - \frac{C}{2})}^{2}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y}{1} = \frac{{(- \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) - \frac{C}{2})}^{2}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.4.2.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{{(- \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) - \frac{C}{2})}^{2}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.2.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{{(- \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) - \frac{C}{2})}^{2}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot {(- \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) - \frac{C}{2})}^{2} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.4.2.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot {(- \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) - \frac{C}{2})}^{2}$ als $- {(- \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) - \frac{C}{2})}^{2}$ um.

$y = - {(- \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) - \frac{C}{2})}^{2} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.4.2.3.1.3

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$y = - {(- \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) - \frac{C}{2})}^{2} + 1$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = - {(- \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2} + 1$